Med två tal, ett större a och ett mindre b, får man kvoten mellan dem genom att dividera dem: förhållandet är a/b. Ett annat naturligt förhållande bildas genom att addera talen och dividera summan med det större talet a: (a+b)/a. Om dessa två förhållanden är lika med samma tal kallas det talet för det gyllene snittet. Den grekiska bokstaven {\displaystyle \varphi } (phi) används ofta som namn på det gyllene snittet.

Definition och enkel härledning

Vi ställer upp ekvationen enligt definitionen ovan:

kvoten = (a+b)/a = a/b → om vi sätter a/b = φ får vi ekvationen

{\displaystyle \varphi ={\frac {\varphi +1}{\varphi }}}

Detta kan omformas genom att multiplicera båda sidor med φ och förenkla till en kvadratisk ekvation:

φ² = φ + 1.

Lösningen (den positiva roten) av denna ekvation är

{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618...}

{\displaystyle {\sqrt {5}}} är det tal som multiplicerat med sig självt ger 5: {\displaystyle {\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=5} .

Grundläggande egenskaper

  • Numeriskt värde: φ ≈ 1.6180339887...
  • Irrationalitet: φ kan inte skrivas som ett ändligt bråk, dess decimalutveckling är oändlig och icke-periodisk.
  • Relationer:
    • φ² = φ + 1 (definitionen ovan).
    • 1/φ = φ − 1 ≈ 0.6180339887… (den reciprokas värde är φ minus 1).
    • φ − 1 = 1/φ och därmed φ = 1 + 1/φ vilket leder till den oändliga fortsatta bråksformen nedan.
  • Tillhörande konjugat: den andra roten av x² − x − 1 = 0 är (1 − √5)/2 ≈ −0.618..., ibland kallad ψ.

Fortsatta bråk och rötter

Det gyllene snittet har enkla uttryck som oändliga representaitoner:

  • Som oändligt kontinuerligt bråk: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + ...))).
  • Som oändlig kedjerot: φ = √(1 + √(1 + √(1 + ...))).

Relation till Fibonaccitalen

Förhållandet mellan två på varandra följande Fibonacci-tal närmar sig φ när talen blir stora:

lim_{n→∞} F_{n+1}/F_n = φ.

Detta gör φ till ett naturligt tal i diskreta tillväxtprocesser där Fibonaccisekvenser uppstår.

Geometriska tillämpningar

  • Reguljära femhörningar och pentagram: förhållanden mellan diagonaler och sidor i en regelbunden pentagon är φ.
  • Gyllene rektangeln: en rektangel där förhållandet mellan längd och bredd är φ. Om man tar bort en kvadrat ur en gyllene rektangel återstår en mindre gyllene rektangel—detta ger en spiralformation när processen upprepas.
  • Spiralmönster: gyllene snittet dyker upp i modeller för spiraler i naturen (t.ex. i vissa snäckskal och blomställningar), ofta i samband med optimering av packning eller växtläge (fyllotaxi).

Praktiska och historiska anteckningar

  • Historiskt har talet studerats av grekiska matematiker och senare kallats "sectio aurea" (latin). På 1600-talet och framåt har det förekommit i konst, arkitektur och design som ett estetiskt förhållande.
  • I modern tid används φ inom matematik, datavetenskap, konst, arkitektur och naturvetenskap för att beskriva proportioner, tillväxtmönster och optimeringsproblem.

Bevisskiss för irrationalitet (kort)

Anta att φ är rationellt, det vill säga φ = p/q med heltal p, q utan gemensamma faktorer. Från φ² = φ + 1 följer p²/q² = p/q + 1 ⇒ p² = p q + q². Detta innebär att q delar p². Eftersom p och q är relativt primära skulle q = 1 och därmed fås en motsägelse (p² − p − 1 = 0 har ingen heltalslösning). En mer formell version av detta resonemang visar att φ är irrationellt.

Sammanfattning

Det gyllene snittet φ är ett irrationellt tal ungefär lika med 1.6180339887..., definierat av förhållandet mellan två segment där hela segmentet förhåller sig till det längre på samma sätt som det längre förhåller sig till det kortare. Det uppfyller enkla algebraiska identiteter (φ² = φ + 1, 1/φ = φ − 1), har en enkel fortsatta bråksrepresentation och dyker upp i många matematiska och visuella sammanhang, särskilt i samband med pentagoner, spiraler och Fibonaccisekvenser.