Fibonaccital
Fibonacci-talen är en matematisk talföljd som är uppkallad efter Leonardo av Pisa, känd som Fibonacci. Fibonacci skrev 1202 en bok, Liber Abaci ("Book of Calculation"), som introducerade talmönstret i den västeuropeiska matematiken, även om matematiker i Indien redan kände till det.
Det första talet i mönstret är 0, det andra talet är 1 och varje tal därefter är lika med att lägga ihop de två föregående talen. Till exempel 0+1=1 och 3+5=8. Denna sekvens fortsätter i all oändlighet.
Detta kan skrivas som ett återkommande samband,
F n = F n - 1 + F n - 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}} 
För att detta ska bli meningsfullt måste man ta hänsyn till minst två utgångspunkter. Här är F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0}
och F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1}
.
En Fibonacci-spiral som skapas genom att dra en linje genom kvadraterna i Fibonacci-teglet; här används kvadraterna i storlekarna 1, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 och 34; se Gyllene spiralen.
Fibonacci-talen i naturen
Fibonacci-talen är relaterade till det gyllene snittet, som förekommer på många ställen i byggnader och i naturen. Några exempel är mönstret av blad på en stjälk, delarna i en ananas, blomningen av kronärtskocka, upprullningen av en ormbunke och arrangemanget av en tallkotte. Fibonacci-talen återfinns också i honungsbinas släktträd.
Solroshuvud med blomblad i spiraler av 34 och 55 runt om på utsidan.
Binets formel
Det nionde Fibonacci-talet kan skrivas i termer av det gyllene snittet. På så sätt slipper man använda rekursion för att beräkna Fibonacci-talen, vilket kan ta lång tid för en dator att göra.
F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}} 
Där φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}} 
, det gyllene snittet.
Frågor och svar
F: Vad är Fibonacci-sekvensen?
S: Fibonacci-sekvensen är ett talmönster inom matematiken som är uppkallat efter Leonardo av Pisa, känd som Fibonacci. Den börjar med 0 och 1, och varje nummer efter det är lika med att addera de två numren precis före det tillsammans.
F: Vem introducerade detta talmönster i den västeuropeiska matematiken?
S: Fibonacci skrev 1202 en bok som heter Liber Abaci ("Book of Calculation"), som introducerade talmönstret i den västeuropeiska matematiken, även om matematiker i Indien redan kände till det.
F: Hur kan Fibonacci-sekvensen skrivas?
S: Fibonacci-sekvensen kan skrivas som ett återkomstförhållande, där F_n = F_n-1 + F_n-2 för n ≥ 2.
F: Vilka är utgångspunkterna för denna återkommande relation?
S: För att detta ska bli meningsfullt måste minst två utgångspunkter ges. Här är F_0 = 0 och F_1 = 1.
Fråga: Fortsätter Fibonacciföljden i all evighet?
Svar: Ja, sekvensen fortsätter i all evighet.
F: Var lärde sig matematikerna först om detta talmönster? Svar: Matematiker i Indien kände redan till detta talmönster innan det introducerades i Västeuropa av Leonardo av Pisa (Fibonacci).
