Fibonaccital – matematisk definition, formel, exempel och historia
Fibonacci-talen är en matematisk talföljd som är uppkallad efter Leonardo av Pisa, känd som Fibonacci. Fibonacci skrev 1202 en bok, Liber Abaci ("Book of Calculation"), som introducerade talmönstret i den västeuropeiska matematiken, även om matematiker i Indien redan kände till det.
Det första talet i mönstret är 0, det andra talet är 1 och varje tal därefter är lika med att lägga ihop de två föregående talen. Till exempel 0+1=1 och 3+5=8. Denna sekvens fortsätter i all oändlighet.
Detta kan skrivas som ett återkommande samband,
F n = F n - 1 + F n - 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}} 
För att detta ska bli meningsfullt måste man ta hänsyn till minst två utgångspunkter. Här är F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0}
och F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1}
.
Definition och exempel
Med startvärdena F0 = 0 och F1 = 1 fås följande första termer i sekvensen:
- F0 = 0
- F1 = 1
- F2 = 1 (0 + 1)
- F3 = 2 (1 + 1)
- F4 = 3 (1 + 2)
- F5 = 5 (2 + 3)
- F6 = 8 (3 + 5)
- F7 = 13 (5 + 8)
- F8 = 21 (8 + 13)
- och så vidare...
Varje nytt tal är alltså summan av de två föregående.
Egenskaper och viktiga formler
- Binet's formel (sluten form): För n ≥ 0 kan Fn uttryckas med hjälp av det gyllene snittet φ = (1 + √5)/2 och ψ = (1 − √5)/2 som
Fn = (φ^n − ψ^n) / √5. Denna formel visar att Fn växer ungefär som φ^n / √5 när n blir stort. - Gräns för kvoter: Kvoten Fn+1 / Fn konvergerar mot φ när n → ∞. Det är därför Fibonacci-sekvensen är nära kopplad till det gyllene snittet.
- Genererande funktion: Den formella potensserien G(x) = Σ_{n≥0} Fn x^n har formen G(x) = x / (1 − x − x^2).
- Matrisform: Man kan använda 2×2-matriser för att generera termer: [ [1,1],[1,0] ]^n = [ [F_{n+1}, F_n],[F_n, F_{n-1}] ]. Detta ger ett snabbt sätt att beräkna Fn med exponentiering via kvadrering.
- Cassinis identitet: För alla n gäller F_{n+1} F_{n-1} − F_n^2 = (−1)^n.
- Negativa index: Sekvensen kan utvidgas till negativa index genom återrelationen; man får F_{−n} = (−1)^{n+1} F_n.
Historia och ursprung
Fibonacci introducerade talföljden i västeuropeisk litteratur i Liber Abaci (1202) i samband med en uppgift om reproduktion av kaniner. Men versioner av samma talföljd och relaterade metoder fanns tidigare i indisk matematik, bland annat hos matematikern Virahanka och i verk från 500–1000-talet. Fibonacci populariserade mönstret i Europa, därav namnet.
Tillämpningar och förekomst i naturen
- Fibonaccital dyker upp i modeller av populationstillväxt, i vissa rekursiva algoritmer och i datastrukturer (t.ex. Fibonacci heap).
- I naturen syns mönster kopplade till Fibonacci eller det gyllene snittet i arrangemang av blad, frökapslar (t.ex. solros), och spiralformationer hos snäckskal och stormönster.
- Inom konst och arkitektur används ibland gyllene snittet, som är nära relaterat till Fibonacci-sekvensens kvoter, för proportioner och komposition.
Alternativa startvärden och generaliseringar
Det finns variationer där sekvensen startar med F1 = 1 och F2 = 1 (då blir F0 inte medräknat), men de flesta moderna definitioner använder F0 = 0 och F1 = 1. Man kan också generalisera rekursionsregeln till tribonacci (summa av tre föregående), eller överlag definiera en linjär rekurens av högre ordning.
Beräkning och effektivitet
Att beräkna Fn direkt via den rekursiva definitionen är ineffektivt (exponentiell tidskomplexitet). Effektiva metoder inkluderar:
- Iterativ beräkning i O(n) tid och O(1) minne.
- Exponentiering av 2×2-matris med snabb exponentiering (O(log n) multiplikationer).
- Användning av Binet's formel tillsammans med noggrann flyttalsbehandling eller heltalsapproximationer för stora n.
Sammanfattning
Fibonaccitalen är en grundläggande och välstuderad talföljd inom matematik med tydlig rekursiv definition, rik algebraisk struktur och många praktiska och visuella tillämpningar. Sekvensens koppling till det gyllene snittet och dess förekomst i både teoretiska och naturvetenskapliga sammanhang gör den särskilt intressant.
En Fibonacci-spiral som skapas genom att dra en linje genom kvadraterna i Fibonacci-teglet; här används kvadraterna i storlekarna 1, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 och 34; se Gyllene spiralen.
Fibonacci-talen i naturen
Fibonacci-talen är relaterade till det gyllene snittet, som förekommer på många ställen i byggnader och i naturen. Några exempel är mönstret av blad på en stjälk, delarna i en ananas, blomningen av kronärtskocka, upprullningen av en ormbunke och arrangemanget av en tallkotte. Fibonacci-talen återfinns också i honungsbinas släktträd.
Solroshuvud med blomblad i spiraler av 34 och 55 runt om på utsidan.
Binets formel
Det nionde Fibonacci-talet kan skrivas i termer av det gyllene snittet. På så sätt slipper man använda rekursion för att beräkna Fibonacci-talen, vilket kan ta lång tid för en dator att göra.
F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}} 
Där φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}} 
, det gyllene snittet.
Frågor och svar
F: Vad är Fibonacci-sekvensen?
S: Fibonacci-sekvensen är ett talmönster inom matematiken som är uppkallat efter Leonardo av Pisa, känd som Fibonacci. Den börjar med 0 och 1, och varje nummer efter det är lika med att addera de två numren precis före det tillsammans.
F: Vem introducerade detta talmönster i den västeuropeiska matematiken?
S: Fibonacci skrev 1202 en bok som heter Liber Abaci ("Book of Calculation"), som introducerade talmönstret i den västeuropeiska matematiken, även om matematiker i Indien redan kände till det.
F: Hur kan Fibonacci-sekvensen skrivas?
S: Fibonacci-sekvensen kan skrivas som ett återkomstförhållande, där F_n = F_n-1 + F_n-2 för n ≥ 2.
F: Vilka är utgångspunkterna för denna återkommande relation?
S: För att detta ska bli meningsfullt måste minst två utgångspunkter ges. Här är F_0 = 0 och F_1 = 1.
Fråga: Fortsätter Fibonacciföljden i all evighet?
Svar: Ja, sekvensen fortsätter i all evighet.
F: Var lärde sig matematikerna först om detta talmönster? Svar: Matematiker i Indien kände redan till detta talmönster innan det introducerades i Västeuropa av Leonardo av Pisa (Fibonacci).
