Riemannhypotesen: definition, betydelse och koppling till primtal

Vad är Riemanns zeta-funktion?

Riemanns zeta-funktion är en typ av funktion. Funktioner är saker i matematiken som ekvationer. Funktioner tar in tal och ger dig andra tal tillbaka. Det är som hur du får ett svar tillbaka när du ställer en fråga. Det tal som du lägger in kallas för en "input". Det tal du får tillbaka kallas för ett "värde". Varje inmatning som du lägger in i Riemanns zeta-funktion ger dig ett särskilt värde tillbaka. Oftast får du ett annat värde för varje inmatning. Men varje ingång ger dig samma värde varje gång du använder den. Både den inmatning du ger och det värde du får från Riemannzeta-funktionen är speciella tal som kallas komplexa tal. Ett komplext tal är ett tal med två delar, en reell del och en imaginär del. Den imaginära delen kallas imaginär eftersom du skulle behöva "föreställa dig" ett sådant tal som i {\displaystyle i} som när det multipliceras med sig själv är lika med i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1} . Eftersom det enligt aritmetikens regler ( - ) × ( - ) = ( + ) {\displaystyle (-)\times (-)=(+)} och ( + ) × ( + ) = ( + ) {\displaystyle (+)\times (+)=(+)} inte kan finnas något sådant tal, måste man hitta på det. Tänkta tal har stor användning inom matematiken; utan dem skulle många tekniker inte vara möjliga. Som ett konkret exempel kan nämnas att för att använda den kvadratiska formeln för att lösa vissa ekvationer måste svaret ibland vara ett imaginärt tal, och historiskt sett var detta anledningen till att de imaginära talen uppfanns från början.

Vad är en icke-trivial rot?

Ibland när man lägger in ett värde i Riemanns zeta-funktion får man tillbaka siffran noll. När detta händer kallar man den inmatningen för en rot i Riemannzeta-funktionen. Du kallar inmatningen för en "rot" när den ger dig noll. Många rötter har hittats. Men vissa rötter är lättare att hitta än andra. Vi kallar rötterna för "triviala" eller "icke-triviala" rötter. Vi kallar en rot för "trivial" om den är lätt att hitta. Men vi kallar en rot för "icke-trivial" om den är svår att hitta. De triviala rötterna är tal som kallas "negativa jämna tal". Anledningen till att vi tycker att de är lätta är att de är lätta att hitta. Det finns snygga regler som säger vilka de triviala rötterna är. Vi vet vilka de triviala rötterna är på grund av den ekvation som Bernhard Riemann gav. Den ekvationen kallades "Riemanns funktionella ekvation".

Hur hittar vi icke-triviala rötter?

De icke-triviala rötterna är svårare att hitta. De har inte samma snygga regler som säger vad de är. Även om de är svåra att hitta har många icke-triviala rötter hittats. Kom ihåg att värdet av Riemanns zeta-funktion var ett slags tal som kallas komplexa tal. Och kom ihåg att komplexa tal har två delar. En av dessa delar kallas den "reella delen". Vi noterade en intressant sak om realdelen av de icke-triviala rötterna. Alla icke-triviala rötter som vi hittade har en reell del som är samma tal. Detta tal är 1/2, vilket är en bråkdel. Detta för oss till Riemanns stora fråga, som handlar om hur stora realdelarna är. Frågan är "har alla icke-triviala rötter reell del 1/2?", och hypotesen säger att svaret är ja. Vi försöker fortfarande ta reda på om svaret är "ja" eller "nej".

Vi vet ännu inte svaret på frågan. Men vi vet några bra fakta. Dessa fakta kan hjälpa oss. Det finns ett sätt att hitta fakta om de reella delarna av de icke-triviala rötterna. Detta är med Riemanns speciella ekvation (Riemanns funktionella ekvation). Riemanns funktionella ekvation berättar för oss om storleken på de reella delarna. Den säger att alla icke-triviala nollor har en realdel nära 1/2. Den säger hur små realdelarna kan vara och hur stora de kan vara. Men den säger inte exakt vad de är. Specifikt säger den att realdelarna måste vara större än 0. Men de måste vara mindre än 1. Men vi vet fortfarande inte om det kan finnas en icke-trivial rot med en realdel mycket nära 1/2. Kanske finns det, men vi har bara inte hittat den ännu. Gruppen av komplexa tal som har en reell del som är större än 0 men mindre än 1 kallas "den kritiska remsan".

Bilden i det övre högra hörnet på den här sidan visar Riemanns zeta-funktion. De icke-triviala rötterna visas med de vita prickarna. Det ser ut som om de alla ligger på en linje längst ner i mitten av bilden. De är inte för långt till vänster och inte för långt till höger. Den verkliga delen är hur långt till vänster till höger du befinner dig. Att de ligger i mitten av bilden innebär att de har en riktig del av 1/2. Så alla icke-triviala rötter i bilden har en reell del av 1/2. Men vår bild visar inte allt eftersom Riemanns zeta-funktion är för stor för att visas. Hur är det då med de icke-triviala rötterna ovanför och under bilden? Skulle de också vara i mitten? Vad händer om de bryter mönstret att vara i mitten? De skulle kunna vara något till vänster eller höger. Riemannhypotesen frågar om varje icke-trivial rot (vit prick) skulle ligga på linjen i mitten. Om svaret är nej säger vi att "hypotesen är falsk". Detta skulle innebära att det finns vita punkter som inte ligger på den givna linjen.