Trunkerad oktaeder – definition, ytor, hörn och egenskaper

Upptäck trunkerad oktaeder: definition, ytor, hörn och egenskaper. Visuell och matematisk guide till denna arkimediska kropp med 14 ytor — 8 sexhörningar och 6 fyrkanter.

Trunkerad oktaedron är en av de arkimediska kropparna, alltså en uniform (vertex-transitiv) månghörning med regelbundna ytor. Den kallas också för truncated octahedron på engelska och har totalt 14 ytor: 8 är sexhörningar (reguljära) och 6 är fyrkanter. Den erhålls genom att skära av hörnen (trunkera) på en oktaeder. Varje ursprungligt hörn i oktaedern har fyra anslutande kanter; när man skär av ett sådant hörn bildas en kvadrat som ersätter hörnet och de avkapade kanterna ger upphov till sexhörningarna.

Grundläggande räknestycken och läge

• Antal ytor (F): 14 (8 regelbundna sexhörningar + 6 kvadrater).
• Antal kanter (E): 36.
• Antal hörn (V): 24.
• Vertex‑konfiguration: 4.6.6 — i varje hörn möts en kvadrat och två sexhörningar.
• Symmetri: Full oktaedrisk symmetri (grupp Oh). Kroppen är vertex‑transitiv (alla hörn är likadana ur symmetripunkt).
• Arkimedisk typ: En av de 13 arkimediska kropparna, alltså uniform med regelbundna ytor men inte alla ytor lika.

Geometriska egenskaper

• Från oktaeder till trunkerad oktaeder: Genom att trunkera (skära bort) varje hörn på oktaedern tillräckligt långt får varje ursprunglig kant en sexhörning och varje ursprungligt hörn blir en kvadrat. För att både kvadraterna och sexhörningarna ska bli reguljära krävs ett särskilt trunceringsmått (uniform truncation).
• Ytareal (regelbundna sidor): Om kantlängden är a så är arean för en regelbunden sexhörning A_hex = (3√3/2) a^2 och för en kvadrat A_sq = a^2. Total yta blir därför A = 6a^2 + 8·(3√3/2)a^2 = a^2(6 + 12√3). (Denna formel gäller när både kvadraterna och sexhörningarna är reguljära med samma kantlängd a.)
• Volym: Volymen kan beräknas från koordinater eller genom uppdelning i enklare polyedriska delar; uttrycket beror på kantlängden a. För praktiska beräkningar används ofta koordinatbeskrivningar eller numerisk integration.

Topologi och Euler

Trunkerad oktaeder uppfyller Eulers formel V − E + F = 2: 24 − 36 + 14 = 2.

Space‑filling och tillämpningar

• Rymdfyllning: Till skillnad från många andra Archimedeiska kroppar kan trunkerad oktaeder fylla rummet helt genom en enkel förskjuten packning — den genererar den så kallade trunkerade oktaedriska honungen (truncated octahedral honeycomb). Detta gör den intressant i studier av packningar, kristallografi och cellstrukturer.
• Kopplingar till kristallografi: Den trunkerade oktaedern dyker upp som Voronoi‑cell för vissa gitter (t.ex. kroppens centrerade kubiska, BCC‑gitter) och används som modell för vissa typer av molekylära eller mikrostrukturella partitioner.

Relationer till andra polyedrar

• Den trunkerade oktaedern kan ses som en arkimedisk truncation av oktaedern; på samma sätt finns trunkerade versioner av andra reguljära polyedrar (t.ex. trunkerad tetraeder, trunkerad kub, trunkerad ikosaeder).
• Som arkimedisk kropp har den en dualpolyeder som är ett icke‑reguljärt (Catalan) polyeder; dualens ansikten motsvarar originalets hörn.

Visuell och praktisk information

• Nät (net): Ett nät för trunkerad oktaeder består av 6 kvadrater och 8 sexhörningar som kan vikas ihop så att varje kvadrat omges av sexhörningar enligt vertex‑konfigurationen 4.6.6.
• Användningsområden: Modellering av celler i foamer och skum, arkitektur med modulära celler, matematiska och pedagogiska visualiseringar av rymdfyllningar och symmetrier.

Sammanfattningsvis är den trunkerade oktaedern en välstuderad arkimedisk kropp med 14 ytor (8 sexhörningar och 6 fyrkanter), 36 kanter och 24 hörn, uniform vertex‑struktur 4.6.6, full oktaedrisk symmetri och den intressanta egenskapen att kunna fylla rummet utan mellanrum.

Sök med bokstav