Formellt sett är en linjär funktion en funktion f(x):R→R så att grafen för f är en linje. Detta innebär att f:s domän eller ingång är ett reellt tal R och att f:s område eller utgång också är ett reellt tal R. Vanligtvis skriver vi y(x) eller bara y i stället för f(x). Den formella förklaringen betyder alltså:
- Vi matar in eller ersätter ett reellt tal x i den linjära funktionen.
- den linjära funktionen ger ett reellt tal y eller ger ett reellt tal y och
- Alla dessa punkter (x,y) bildar en linje.
Det finns tre huvudformer för att skriva linjära funktioner: lutningsintercept, standard och parametrisk.
Form med lutning och intercept
Den explicita formen för en linjär funktion är y ( x ) = m x + b {\displaystyle y(x)=mx+b}
eller y = m x + b {\displaystyle y=mx+b}
. Denna form har två variabler x och у och två konstanter m och b.
- Bokstäverna m och b är konstanter. Innan vi arbetar med en linjär funktion ersätter vi m och b med verkliga tal.
- Bokstäverna x och y är variabler.
- Variabeln x kallas den oberoende variabeln eller argumentet. Alla reella tal x kan matas in eller ersättas i en linjär funktion. Funktionen ger sedan ut motsvarande värde för y.
- Variabeln y kallas den beroende variabeln. Det är det värde som produceras efter att x har ersatts med ett värde som används som ingångsvärde.
- Horisontella linjer ingår. Linjen är horisontell om och endast om m=0. Då har vi bara y=b. Eftersom b är ett reellt tal är detta en konstant funktion. En konstant funktion är alltså också en linjär funktion.
- Vertikala linjer ingår aldrig eftersom en vertikal linje inte är en funktion. En vertikal linje klarar inte testet för vertikala linjer. (En vertikal linje definieras av ekvationen: x=b där b är ett reellt tal).
- Snedstreckade linjer är inkluderade. Linjen är sned om och endast om m≠0.
- Formen för den sluttande interceptet är unik. Ett annat värde på m eller ett annat värde på b ger en annan linje.
- En linjär funktion är en polynomisk funktion av första eller nollgrad i en variabel х .
- Den konstanta termen är b. Om vi sätter in x=0 i funktionen får vi y=b. Så talet b är y-interceptet och linjen korsar у-axeln i punkten (0,b).
- Om m≠0 är talet–b / mx-interceptet eller roten eller noll och (–b /m ,0) är den punkt där linjen korsar х-axeln. Här är funktionens värde noll.
- Koefficienten m till x kallas linjens lutning eller gradient. För varje linje är talet m en konstant och därför är lutningen konstant för hela linjen. Lutningen bestämmer både linjens riktning och branthet. Riktning och branthet kallas förändringshastighet. Förändringshastigheten är alltså m och den är konstant för varje linje.
- Tecknet på m bestämmer riktningen. Om m>0 är den linjära funktionen ökande; om m<0 är funktionen minskande.
- Absolutvärdet av m bestämmer brantheten. Om |m|<1 är sluttningen mjuk, om |m|>1 är sluttningen brant.
- Om lutningen på en linje är m och (х,у) är en punkt på linjen, måste vi också ha punkten (х+1, y+m) på linjen.
Exempel: y=-2x+4. Lutningen är m= -2 och y-interceptet är b=4 eller punkten (0,4). Genom att ersätta y=0 och lösa för x får vi 0=-2x+4 eller x=2. Så x=2 är roten till denna linjära funktion och punkten (2,0) är x-interceptet. Eftersom lutningen är m = -2 är linjen fallande. Eftersom |-2|=2>1 är minskningen relativt brant. För varje förändring av х med 1 (till höger) ändras värdet av у med -2 (sjunker).
- Grafen för en linje bestäms av två punkter. För att grafera en linjär funktion kan vi sätta in två olika värden för x i funktionen och lösa de motsvarande y-värdena. Vi ritar dessa två punkter. Med hjälp av ett linjal drar vi linjen genom dessa två punkter och förlänger den förbi båda punkterna.
Exempel: y=-2x+4. Genom att ersätta x=0 får vi y=4 (detta är y-interceptet) och därmed punkten (0,4). Genom att ersätta x=1 får vi y=2 och därmed punkten (1,2). Rita upp dessa punkter och dra linjen. (Lägg märke till att den andra punkten ligger 1 till höger och 2 nedåt från den första punkten. Som vi sa i exemplet ovan sker detta eftersom lutningen är m= -2).
- En linjär funktion som inte är en konstant funktion är en bijektion. Den ger ut varje verkligt tal (surjektion) för exakt ett ingångsvärde (injektion).
Exempel: y= -x+2. Anta att y= -1. Vi ersätter y= -1 och får: -1= -'x+2 eller x=3. Detta är den enda lösningen. Vi kan göra detta för vilket y-värde som helst.
Standardformulär
A x + B y = C , B ≠ 0 {\displaystyle Ax+By=C,\,B\neq 0}
.
- Standardformen har 2 variabler x och у och 3 konstanter A, B och C som ersätts med verkliga tal innan man arbetar. Denna form används ofta i geometri och i system av linjära ekvationer.
Exempel: Den linjära funktionen 3x-2y=1 är i standardform. Konstanterna är A=3, B=-2 och C=1.
- Denna form skrivs ibland som: A x + B y + C = 0 {\displaystyle Ax+By+C=0}
. Så istället för att skriva 3x-2y=1 skriver vi den motsvarande ekvationen 3x-2y-1=0. - Konstanterna A, B och C är inte entydigt bestämda. Om vi multiplicerar dem med en faktor k ändras värdet på dessa konstanter, men linjen är fortfarande densamma.
Exempel: Linjerna 3x-2y=1 och 6x-4y=2 är sammanfallande (samma linje). Här är faktorn: k=2. Vi multiplicerade den första ekvationen med 2 för att få den andra ekvationen. Den unika formen för den här linjen är: y=1,5x-0,5 (lös båda ekvationerna för y).
Vektor-parametrisk form
Parametrisk form: { x ( t ) = x 1 + a 1 t y ( t ) = y 1 + a 2 t a 1 ≠ 0 , t ∈ R {\displaystyle \left\{{\begin{array}{*{20}{l}}{x(t)={x_{1}}}+{a_{1}}}t}\\\{y(t)={y_{1}}}+{a_{2}}t}\end{array}}}\right.\,{a_{1}\neq 0}\,,\,t\in \mathbb {R} }
eller
Vektorform: X = ( x 1 , y 1 ) + t ( a 1 , a 2 ) {\displaystyle {\mathbf {X} }=({x_{1}}},{y_{1}}})+t({a_{1}}},{a_{2}})} }
eller r ( t ) = < x 1 + a 1 t , y 1 + a 2 t > , a 1 ≠ 0 , t ∈ R {\displaystyle r(t)=\,<x_{1}+a_{1}t,\,y_{1}+a_{2}t>\,,\,{a_{1}\neq 0}\,,\,t\in \mathbb {R} } 
.
- Den parametriska eller vektor- eller vektor-parametriska formen har 1 parameter t, 2 variabler x och у och 4 konstanter a1 , a2 , x1 och y1 . Koefficienterna a1 , a2 , x1 och y1 är inte entydigt bestämda. Linjen passerar genom punkterna А=(x1 ,y1 ) och B=(x1 +a1 ,y1 +a2 ), så om man tar andra punkter eller till och med bara byter ordning på punkterna får man olika konstanter för samma linje.
- Parametern t är inte synlig i diagrammet.
- Ingenjörer använder vanligtvis bokstaven t för parametern. Matematiker använder ofta den grekiska bokstaven λ.
Exempel: X=(-1,1)+t(2,3), t∈R är en linje i vektorform. Här: a1 =2, a2 =3, x1 =-1 och x2 =1. Linjen går genom punkterna (x1 ,y1 )=(-1,1) och (x1 +a1 ,y1 +a2 )=(1,4). Den motsvarande parametriska formen för denna linje är: x(t)= -1+2t, y(t)=1+3t. Den unika formen för denna linje är: y(x)=1,5x+2,5 (lös den första ekvationen för t och sätt in resultatet i den andra ekvationen).
- Den vektorparametriska formen av en linje utvidgas naturligt till linjer i tredimensionella och högre rum. De andra formerna gör det inte.
Exempel: X=(-1,1,2)+t(2,3,-1), t∈R är en linje i det tredimensionella rummet. Linjen går genom punkterna (-1,1,2) och (1,4,1).
