Exponentialfunktion | funktion som växer snabbare och snabbare

Egenskaper

Eftersom exponentialfunktioner använder exponentiering följer de samma exponentregler. Således,

e x + y = exp ( x + y ) = exp ( x ) exp ( y ) = e x e y {\displaystyle e^{x+y}=\exp(x+y)=\exp(x)\exp(x)\exp(y)=e^{x}e^{y}}} .

Detta följer regeln att x a ⋅ x b = x a + b {\displaystyle x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}}} .

Den naturliga logaritmen är den omvända operationen av en exponentialfunktion, där:

ln ( x ) = log e ( x ) = log ( x ) log ( e ) {\displaystyle \ln(x)=\log _{e}(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}}

Exponentialfunktionen uppfyller en intressant och viktig egenskap inom differentialräkning:

d d x e x = e x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}}

Detta innebär att exponentialfunktionens lutning är själva exponentialfunktionen och att den därför har en lutning på 1 vid x = 0 {\displaystyle x=0} . Dessa egenskaper är anledningen till att det är en viktig funktion i matematiken.

 

Applikationer

Den allmänna exponentialfunktionen, där basen inte nödvändigtvis är e {\displaystyle e} är en av de mest användbara matematiska funktionerna. Den används för att representera exponentiell tillväxt, som används inom praktiskt taget alla vetenskapliga discipliner och som också är framträdande inom finansbranschen. Ett annat användningsområde för exponentialfunktionen är exponentiellt sönderfall, som förekommer vid radioaktivt sönderfall och absorption av ljus.

Ett exempel på en exponentiell funktion i verkligheten är räntan på en bank. Om en person sätter in 100 pund på ett konto som får 3 % ränta per månad, skulle saldot varje månad (om pengarna inte rörs) se ut på följande sätt:

Månad	Balans	Månad	Balans
Januari	£100.00	Juli	£119.41
Februari	£103.00	Augusti	£122.99
Mars	£106.09	September	£126.68
April	£109.27	Oktober	£130.48
Maj	£112.55	November	£134.39
Juni	£115.93	December	£138.42

Lägg märke till att räntekostnaden ökar varje månad, eftersom räntan ökar ju större det ursprungliga saldot är, desto mer ränta får personen.

Två matematiska exempel på exponentialfunktioner (med basen a) visas nedan.

 

Relation till den matematiska konstanten e

Även om basen ( a {\displaystyle a} ) kan vara vilket tal som helst som är större än noll, till exempel 10 eller 1/2, är det ofta ett speciellt tal som kallas e. Talet e kan inte skrivas exakt, men det är nästan lika med 2,71828.

Talet e är viktigt för varje exponentialfunktion. En bank betalar till exempel en ränta på 0,01 procent varje dag. En person tar sina räntepengar och lägger dem i en låda. Efter 10 000 dagar (cirka 30 år) har han 2 gånger så mycket pengar som han började med. En annan person tar sina räntepengar och sätter tillbaka dem på banken. Eftersom banken nu betalar honom ränta på hans ränta är penningmängden en exponentiell funktion.

Efter 10 000 dagar har han faktiskt inte två gånger så mycket pengar som han började med, utan 2,718145 gånger så mycket pengar som han började med. Detta tal ligger mycket nära talet e. Om banken betalar ränta oftare, så att det belopp som betalas ut varje gång är mindre, kommer talet att ligga närmare talet e.

Man kan också titta på bilden för att se varför talet e är viktigt för exponentialfunktioner. Bilden visar tre olika kurvor. Kurvan med de svarta punkterna är en exponentialfunktion med en bas som är något mindre än e. Kurvan med de korta svarta linjerna är en exponentialfunktion med en bas som är något större än e. Den blå kurvan är en exponentialfunktion med en bas som är exakt lika med e. Den röda linjen är en tangent till den blå kurvan. Den berör den blå kurvan i en punkt utan att korsa den. En person kan se att den röda kurvan korsar x-axeln, linjen som går från vänster till höger vid -1. Detta gäller bara för den blå kurvan. Detta är anledningen till att exponentialfunktionen med basen e är speciell.

 
e är det unika talet a som gör att värdet av derivatan av exponentialfunktionen f (x) = ax (blå kurva) i punkten x = 0 är exakt 1. Som jämförelse visas funktionerna 2x (streckad kurva) och 4x (streckad kurva); de tangerar inte linjen med lutningen 1 (röd).  

Relaterade sidor

• Logaritm