Surjektiv funktion (surjektion) — definition, egenskaper och exempel
Lär dig vad en surjektiv funktion är — klar definition, viktiga egenskaper och tydliga exempel som förklarar surjektion steg för steg.
Inom matematiken är en surjektiv funktion f : A → B en funktion med följande egenskap: för varje element b i kodomänen B finns det minst ett element a i domänen A så att f(a) = b. Med andra ord är bildmängden (området) för f hela kodomänen, det vill säga f(A) = B. I vardagligt tal sägs en surjektiv funktion ibland vara "på" (engelska: onto).
Termen surjektion och de besläktade termerna injektion och bijektion infördes av gruppen matematiker som kallade sig Nicolas Bourbaki. På 1930‑talet publicerade denna grupp en serie böcker om modern avancerad matematik. Det franska prefixet sur betyder "över" eller "på" och valdes eftersom en surjektiv funktion mappar sin domän på sin koddomän.
Egenskaper och viktiga påståenden
- Bildmängd = kodomän: För en surjektiv funktion gäller f(A) = B.
- Prebilden är aldrig tom: För varje b i B är mängden f−1({b}) icke‑tom.
- Sammansättning: Om f: A → B och g: B → C är surjektiva så är g∘f surjektiv. Om g∘f är surjektiv följer att g är surjektiv, men f behöver inte vara det.
- Högerinvers: f är surjektiv om och endast om det finns en funktion g: B → A sådan att f∘g = idB (en så kallad högerinvers). Existence av en sådan högerinvers i allmänhet (särskilt för oändliga mängder) kan kräva valbarhetsaxiomen (axiom of choice).
- Relation till injektion och bijektion: En funktion som både är injektiv och surjektiv är en bijektion, och har då en unik invers som är både vänster‑ och högerinvers.
- Finitet: Om A och B är ändliga mängder och det finns en surjektion A → B, så måste |A| ≥ |B|. Om dessutom |A| = |B| då är varje injektion och varje surjektion mellan dem också en bijektion.
- Linjära avbildningar: En linjär avbildning mellan ändligdimensionella vektorrum är surjektiv precis när dess rang (rank) är lika med målrummets dimension.
Hur man kontrollerar surjektivitet
- Lös ekvationen f(x) = b för ett allmänt b i kodomänen. Om du kan visa att en lösning finns för varje valt b är funktionen surjektiv.
- Visa att bildmängden f(A) innehåller varje element i B, eller visa konstruktivt en högerinvers g: B → A med f∘g = idB.
- För funktioner mellan ändliga mängder kan man räkna element eller använda injektions-/surjektionskriterier (jämförelse av kardinaliteter).
Exempel
- f: ℝ → ℝ, f(x) = x3. Denna funktion är surjektiv eftersom varje reellt y har lösningen x = ∛y.
- f: ℝ → ℝ, f(x) = x2. Inte surjektiv om kodomänen är hela ℝ (negativa tal saknar prebild), men surjektiv om kodomänen är [0, ∞).
- Projektion π: ℝ2 → ℝ, π(x,y) = x. Denna projektion är surjektiv (varje reellt tal är första koordinaten hos något par).
- Konstant funktion c: A → B, c(a) = b0. En konstant funktion är bara surjektiv om kodomänen B består av exakt det elementet b0 (alltså |B| = 1).
- Naturlig projektion från ℤ till ℤ/nℤ är surjektiv: varje kongruensklass modulo n har en representant i ℤ.
- f: ℤ → ℤ, f(n) = 2n. Om kodomänen är hela ℤ är f inte surjektiv (odda tal saknas). Om kodomänen är 2ℤ (mängden jämna heltal) så är f surjektiv.
Praktisk betydelse
Surjektioner används ofta när man vill visa att en parametrisering täcker hela målrummet, när man bygger inversa funktioner, eller när man studerar strukturbevarande avbildningar (t.ex. homomorfier som är epimorfier i algebra). I analys och topologi kan begreppet "surjektiv" kombineras med kontinuitet och andra egenskaper för att studera avbildningars beteende.
Sammanfattning: En surjektiv funktion "slår över på" hela sin kodomän: varje element i kodomänen har åtminstone en ursprungspunkt i domänen. För att påvisa surjektion kan man antingen lösa f(x)=b för generellt b, visa f(A)=B eller konstruera en högerinvers.
Se också artiklar om området, injektion och bijektion för relaterade begrepp och kontrasterande egenskaper.
Grundläggande egenskaper
Formellt:
f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} är
en surjektiv funktion om ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\displaystyle \forall b\in B\,\,\exists a\in A} så
att f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } 
Elementet b {\displaystyle b}
kallas bilden av elementet a {\displaystyle a}
.
- Den formella definitionen innebär: Varje element i kodomänen B är bilden av minst ett element i domänen A.
Elementet a {\displaystyle a} kallas en förbild av elementet b {\displaystyle b} .
- Den formella definitionen innebär: Varje element i kodomänen B har minst en förbild i domänen A.
En förhandsbild behöver inte vara unik. I den översta bilden är både {X} och {Y} förbilder av elementet {1}. Det är bara viktigt att det finns minst en förbild. (Se även: Injektiv funktion, Bijektiv funktion)
Exempel
Elementära funktioner
Låt f(x):ℝ→ℝ vara en realvärdesfunktion y=f(x) för ett realvärdesargument x. (Detta innebär att både inmatningen och utmatningen är tal.)
- Grafisk betydelse: Funktionen f är en surjektion om varje horisontell linje skär grafen för f i minst en punkt.
- Analytisk innebörd: Funktionen f är en surjektion om vi för varje verkligt tal yo kan hitta minst ett verkligt tal xo så att y=fo(xo).
Att hitta en förbild xo för ett givet yo är likvärdigt med båda frågorna:
- Har ekvationen f(x)-y=0o en lösning? eller
- Har funktionen f(x)-yo en rot?
Inom matematiken kan vi hitta exakta (analytiska) rötter endast för polynom av första, andra (och tredje) graden. Vi hittar rötter till alla andra funktioner ungefärligt (numeriskt). Detta innebär att ett formellt bevis för surjektivitet sällan är direkt. Diskussionerna nedan är därför informella.
Exempel: Den linjära funktionen för en sned linje är på. Det vill säga y=ax+b där a≠0 är en surjektion. (Det är också en injektion och därmed en bijektion.)
Bevis: Substituera yo i funktionen och lös för x. Eftersom a≠0 får vi x= (y-bo)/a. Detta innebär att x=o(y-bo)/a är en förbild av yo. Detta bevisar att funktionen y=ax+b där a≠0 är en surjektion. (Eftersom det finns exakt en förbild är denna funktion också en injektion).
Praktiskt exempel: y= -2x+4. Vad är förbilden av y=2? Lösning: Här är a= -2, dvs. a≠0, och frågan är: Hur ser förbilden ut? För vilket x är y=2? Vi sätter in y=2 i funktionen. Vi får x=1, dvs. y(1)=2. Svaret är alltså: x=1 är förbilden av y=2.
Exempel: Det kubiska polynomet (av tredje graden) f(x)=x-3x3 är en surjektion.
Diskussion: Den kubiska ekvationen x-3x-y=03o har reella koefficienter (a=13, a=02, a=-31, a=-y0o). Varje sådan kubisk ekvation har minst en reell rot. Eftersom polynomiets domän är ℝ betyder det att det finns minst en förbild xo i domänen. Det vill säga (x0)3-3x-y=00o. Funktionen är alltså en surjektion. (Denna funktion är dock inte en injektion. Till exempel har y=2o två förbilder: x=-1 och x=2. Faktum är att varje y, -2≤y≤2 har minst 2 förbilder).
Exempel: Den kvadratiska funktionen f(x) = x2 är inte en surjektion. Det finns inget x så att x 2= -1. Området för x² är [0,+∞) , dvs. mängden icke-negativa tal. (Denna funktion är inte heller en injektion.)
Anmärkning: Man kan göra en icke-surjektiv funktion till en surjektion genom att begränsa dess kodområde till element i dess intervall. Den nya funktionen fN(x):ℝ → [0,+∞) där fN(x) = x2 är en surjektiv funktion. (Detta är inte samma sak som restriktion av en funktion som begränsar domänen!).
Exempel: Exponentialfunktionen f(x) = 10x är inte en surjektion. Området för är10x (0,+∞), dvs. mängden positiva tal. (Denna funktion är en injektion.)
|
Surjektion. f(x):ℝ→ℝ (och injektion) |
Surjektion. f(x):ℝ→ℝ (inte en injektion) |
Inte en surjektion. f(x):ℝ→ℝ (inte heller en injektion) |
|
Inte en surjektion. f(x):ℝ→ℝ (men är en injektion) |
Surjektion. f(x):(0,+∞)→ℝ (och injektion) |
Surjektion. z:ℝ²→ℝ, z=y. (Bilden visar att förbilden av z=2 är linjen y=2.) |
Andra exempel med realvärdesfunktioner
Exempel: Den logaritmiska funktionen bas 10 f(x):(0,+∞)→ℝ definierad genom f(x)=log(x) eller y=log10(x) är en surjektion (och en injektion). (Detta är den omvända funktionen av 10x.)
- Projektionen av en kartesisk produkt A × B på en av dess faktorer är en surjektion.
Exempel: Funktionen f((x,y)):ℝ²→ℝ definierad genom z=y är en surjektion. Dess graf är ett plan i det tredimensionella rummet. Förbilden av zo är linjen y=zo i xy-planet. 0
- I 3D-spel projiceras ett tredimensionellt rum på en tvådimensionell skärm med hjälp av en surjektion.
Relaterade sidor
Frågor och svar
F: Vad är en surjektiv funktion inom matematiken?
S: En surjektiv funktion inom matematiken är en funktion f: A → B med egenskapen att för varje element b i kodomänen B, finns det minst ett element a i domänen A så att f(a)=b.
F: Vad är betydelsen av en surjektiv funktion inom matematiken?
S: En surjektiv funktion säkerställer att inget element i kodomänen är oavbildat och att f:s intervall och kodomän är samma mängd.
F: Vad är ursprunget till termen surjektion?
S: Termen surjektion introducerades av en grupp matematiker vid namn Nicholas Bourbaki.
F: Vad betyder det franska prefixet sur i surjektiv?
S: Det franska prefixet sur betyder ovanför eller på.
F: Varför valde man termen surjektiv för denna typ av funktion?
S: Termen surjektiv valdes för denna typ av funktion eftersom en surjektiv funktion avbildar sin domän på sin kodomän.
F: Vem publicerade en serie böcker om modern avancerad matematik på 1930-talet?
S: Den grupp matematiker som kallas Nicholas Bourbaki publicerade en serie böcker om modern avancerad matematik på 1930-talet.
F: Vad är injektion och bijektion inom matematiken?
S: Injektion och bijektion är relaterade termer till surjektion inom matematiken. En injektionsfunktion säkerställer att inga två element i domänen mappar till samma element i kodomänen. En bijektionsfunktion är både surjektiv och injektiv.
Sök