Inom matematiken är en surjektiv funktion f : A → B en funktion med följande egenskap: för varje element b i kodomänen B finns det minst ett element a i domänen A så att f(a) = b. Med andra ord är bildmängden (området) för f hela kodomänen, det vill säga f(A) = B. I vardagligt tal sägs en surjektiv funktion ibland vara "på" (engelska: onto).

Termen surjektion och de besläktade termerna injektion och bijektion infördes av gruppen matematiker som kallade sig Nicolas Bourbaki. På 1930‑talet publicerade denna grupp en serie böcker om modern avancerad matematik. Det franska prefixet sur betyder "över" eller "på" och valdes eftersom en surjektiv funktion mappar sin domän på sin koddomän.

Egenskaper och viktiga påståenden

  • Bildmängd = kodomän: För en surjektiv funktion gäller f(A) = B.
  • Prebilden är aldrig tom: För varje b i B är mängden f−1({b}) icke‑tom.
  • Sammansättning: Om f: A → B och g: B → C är surjektiva så är g∘f surjektiv. Om g∘f är surjektiv följer att g är surjektiv, men f behöver inte vara det.
  • Högerinvers: f är surjektiv om och endast om det finns en funktion g: B → A sådan att f∘g = idB (en så kallad högerinvers). Existence av en sådan högerinvers i allmänhet (särskilt för oändliga mängder) kan kräva valbarhetsaxiomen (axiom of choice).
  • Relation till injektion och bijektion: En funktion som både är injektiv och surjektiv är en bijektion, och har då en unik invers som är både vänster‑ och högerinvers.
  • Finitet: Om A och B är ändliga mängder och det finns en surjektion A → B, så måste |A| ≥ |B|. Om dessutom |A| = |B| då är varje injektion och varje surjektion mellan dem också en bijektion.
  • Linjära avbildningar: En linjär avbildning mellan ändligdimensionella vektorrum är surjektiv precis när dess rang (rank) är lika med målrummets dimension.

Hur man kontrollerar surjektivitet

  • Lös ekvationen f(x) = b för ett allmänt b i kodomänen. Om du kan visa att en lösning finns för varje valt b är funktionen surjektiv.
  • Visa att bildmängden f(A) innehåller varje element i B, eller visa konstruktivt en högerinvers g: B → A med f∘g = idB.
  • För funktioner mellan ändliga mängder kan man räkna element eller använda injektions-/surjektionskriterier (jämförelse av kardinaliteter).

Exempel

  • f: ℝ → ℝ, f(x) = x3. Denna funktion är surjektiv eftersom varje reellt y har lösningen x = ∛y.
  • f: ℝ → ℝ, f(x) = x2. Inte surjektiv om kodomänen är hela ℝ (negativa tal saknar prebild), men surjektiv om kodomänen är [0, ∞).
  • Projektion π: ℝ2 → ℝ, π(x,y) = x. Denna projektion är surjektiv (varje reellt tal är första koordinaten hos något par).
  • Konstant funktion c: A → B, c(a) = b0. En konstant funktion är bara surjektiv om kodomänen B består av exakt det elementet b0 (alltså |B| = 1).
  • Naturlig projektion från ℤ till ℤ/nℤ är surjektiv: varje kongruensklass modulo n har en representant i ℤ.
  • f: ℤ → ℤ, f(n) = 2n. Om kodomänen är hela ℤ är f inte surjektiv (odda tal saknas). Om kodomänen är 2ℤ (mängden jämna heltal) så är f surjektiv.

Praktisk betydelse

Surjektioner används ofta när man vill visa att en parametrisering täcker hela målrummet, när man bygger inversa funktioner, eller när man studerar strukturbevarande avbildningar (t.ex. homomorfier som är epimorfier i algebra). I analys och topologi kan begreppet "surjektiv" kombineras med kontinuitet och andra egenskaper för att studera avbildningars beteende.

Sammanfattning: En surjektiv funktion "slår över på" hela sin kodomän: varje element i kodomänen har åtminstone en ursprungspunkt i domänen. För att påvisa surjektion kan man antingen lösa f(x)=b för generellt b, visa f(A)=B eller konstruera en högerinvers.

Se också artiklar om området, injektion och bijektion för relaterade begrepp och kontrasterande egenskaper.