Injektiv funktion

Inom matematiken är en injektiv funktion en funktion f : A → B med följande egenskap. För varje element b i kodomänen B finns det högst ett element a i domänen A så att f(a)=b.

Termen injektion och de relaterade termerna surjektion och bijektion introducerades av Nicholas Bourbaki. På 1930-talet publicerade han och en grupp andra matematiker en serie böcker om modern avancerad matematik.

En injektiv funktion kallas ofta en 1-1-funktion. En 1-1 korrespondens är dock en bijektiv funktion (både injektiv och surjektiv). Detta är förvirrande, så var försiktig.

Grundläggande egenskaper

Formellt:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} $f:A\rightarrow B$ är en injektiv funktion om ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\Rightarrow \,\,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})} $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\Rightarrow \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})$ eller motsvarande

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} $f:A\rightarrow B$ är en injektiv funktion om ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\,\Rightarrow \,\,\,a_{1}=a_{2}}} $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}$

Elementet a {\displaystyle a} kallas en förbild av elementet b {\displaystyle b} $b$ om f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b} $f(a)=b$ . Injektioner har en eller inga förbilder för varje element b i B.

Kardinalitet

Kardinalitet är antalet element i en mängd. Kardinaliteten för A={X,Y,Z,W} är 4. Vi skriver #A=4.

Om kodområdets kardinalitet är mindre än domänens kardinalitet kan funktionen inte vara en injektion. (Det finns t.ex. inget sätt att mappa 6 element till 5 element utan en dubblett).

Exempel

Elementära funktioner

Låt f(x):ℝ→ℝ vara en realvärdesfunktion y=f(x) för ett realvärdesargument x. (Detta innebär att både inmatningen och utmatningen är reella tal.)

Grafisk betydelse: Funktionen f är en injektion om varje horisontell linje skär grafen för f i högst en punkt.
Algebraisk betydelse: Funktionen f är en injektion om f(x_o )=f(x₁ ) innebär att x_o =x₁ .

Exempel: Den linjära funktionen för en sned linje är 1-1. Det vill säga y=ax+b där a≠0 är en injektion. (Det är också en surjektion och därmed en bijektion.)

Bevis: Låt x_o och x₁ vara verkliga tal. Anta att linjen ger dessa två x-värden samma y-värde. Detta innebär att a-x_o +b=a-x₁ +b. Subtrahera b från båda sidorna. Vi får a-x_o =a-x₁ . Dela nu båda sidorna med a (kom ihåg a≠0). Vi får x_o =x₁ . Vi har alltså bevisat den formella definitionen och funktionen y=ax+b där a≠0 är en injektion.

Exempel: Polynomfunktionen av tredje graden: f(x)=x³ är en injektion. Polynomfunktionen av tredje graden: f(x)=x³ -3x är dock inte en injektion.

Diskussion 1: En horisontell linje skär grafen för

f(x)=x³ exakt en gång. (Dessutom är det en surjektion.)

Diskussion 2. Varje horisontell linje mellan y=-2 och y=2 skär grafen i tre punkter så denna funktion är inte en injektion. (Det är dock en surjektion.)

Exempel: Den kvadratiska funktionen f(x) = x² är inte en injektion.

Diskussion: Varje horisontell linje y=c där c>0 skär grafen i två punkter. Denna funktion är alltså inte en injektion. (Den är inte heller en surjektion.)

Anmärkning: Man kan göra en icke-injektiv funktion till en injektiv funktion genom att eliminera en del av domänen. Vi kallar detta för att begränsa domänen. Till exempel, begränsa domänen för f(x)=x² till icke-negativa tal (positiva tal och noll). Definiera

f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} } $f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R}$ där f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}} $f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}$

Denna funktion är nu en injektion. (Se även begränsning av en funktion.)

Exempel: Exponentialfunktionen f(x) = 10^x är en injektion. (Det är dock inte en surjektion.)

Diskussion: Varje horisontell linje skär grafen i högst en punkt. De horisontella linjerna y=c där c>0 skär grafen i exakt en punkt. De horisontella linjerna y=c där c≤0 inte skär grafen i någon punkt.

Anmärkning: Det faktum att en exponentialfunktion är injektiv kan användas i beräkningar.

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {\displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}}\,\,\Rightarrow \,\,\,x_{0}=x_{1},\,a>0} $a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0$

Exempel: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,2=x-3\,\,\,\Rightarrow \,\,\,x=5} $100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,x=5$

Injektion: ingen horisontell linje skär mer än en punkt i grafen.

Injektion. f(x):ℝ→ℝ (och surjektion)

Inte en injektion. f(x):ℝ→ℝ (är en surjektion)

Inte en injektion. f(x):ℝ→ℝ (inte surjektion)

Injektion. f(x):ℝ→ℝ (inte surjektion)

Injektion. f(x):(0,+∞)→ℝ (och surjektion)

Andra exempel

Exempel: Den logaritmiska funktionen bas 10 f(x):(0,+∞)→ℝ definierad genom f(x)=log(x) eller y=log₁₀ (x) är en injektion (och en surjektion). (Detta är den omvända funktionen av 10^x .)

Exempel: Funktionen f:ℕ→ℕ som omvandlar varje naturligt tal n till 2n är en injektion. Varje jämnt tal har exakt en förbild. Varje udda tal har ingen förbild.

Relaterade sidor

Frågor och svar

F: Vad är en injektiv funktion inom matematiken?

S: En injektiv funktion är en funktion f: A → B med egenskapen att distinkta element i domänen mappar till distinkta element i kodomänen.

F: Vad är relationen mellan element i domänen och kodomänen för en injektiv funktion?

S: För varje element b i kodomänen B finns det högst ett element a i domänen A som är sådant att f(a)=b.

Fråga: Vem introducerade termerna injektion, surjektion och bijektion?

S: Nicholas Bourbaki och en grupp andra matematiker introducerade termerna injektion, surjektion och bijektion.

F: Vad betyder en injektiv funktion?

S: En injektiv funktion innebär att varje element i domänen A avbildas mot ett unikt element i kodomänen B.

F: Hur skiljer sig en injektiv funktion från en 1-1 korrespondens?

S: En injektiv funktion kallas ofta en 1-1-funktion (en-till-en) men skiljer sig från en 1-1-korrespondens, som är en bijektiv funktion (både injektiv och surjektiv).

F: Vad är egenskapen hos en injektiv funktion?

S: Egenskapen hos en injektiv funktion är att distinkta element i domänen avbildas mot distinkta element i kodomänen.

F: Vilken betydelse har injektiva funktioner inom matematiken?

S: Injektiva funktioner spelar en viktig roll inom många matematiska områden, inklusive topologi, analys och algebra, på grund av deras egenskap att distinkta element i domänen mappar till distinkta element i kodomänen.