Injektiv funktion i matematik – definition, egenskaper och exempel
Lär dig om injektiva funktioner: tydlig definition, viktiga egenskaper och konkreta exempel som förklarar 1‑1‑relationer i matematik.
Inom matematiken är en injektiv funktion en funktion f : A → B med följande egenskap. För varje element b i kodomänen B finns det högst ett element a i domänen A så att f(a)=b.
Termen injektion och de relaterade termerna surjektion och bijektion introducerades av Nicholas Bourbaki. På 1930-talet publicerade han och en grupp andra matematiker en serie böcker om modern avancerad matematik.
En injektiv funktion kallas ofta en 1-1-funktion. En 1-1 korrespondens är dock en bijektiv funktion (både injektiv och surjektiv). Detta är förvirrande, så var försiktig.
Formell definition och ekvivalenta utsagor
En funktion f : A → B är injektiv om och endast om någon av följande (ekvivalenta) formuleringarna gäller:
- Bild-unikhet: För varje b i B finns det högst ett a i A med f(a) = b.
- Hereditärt uttryck: Om f(a1) = f(a2) så följer a1 = a2 för alla a1, a2 i A.
- Existens av vänsterinvers: Det finns en funktion g : f(A) → A sådan att g(f(a)) = a för alla a i A. (Alltså en vänsterinvers på bildmängden.)
Egenskaper
- Sammansättning: Om f : A → B och g : B → C är injektiva så är också g ∘ f injektiv.
- Bevarande av mängdstorlek (ändliga mängder): Om A och B är ändliga mängder och det finns en injektiv funktion från A till B, så gäller |A| ≤ |B|.
- Restriktion: Restriktionen av en injektiv funktion till en delmängd av domänen är fortfarande injektiv.
- Delvis invers: En injektiv funktion har en vänsterinvers definierad på bildmängden; om den dessutom är surjektiv på hela kodomänen (dvs. bijektiv) finns en egentlig invers definierad på hela kodomänen.
Hur man visar att en funktion är injektiv
Några vanliga metoder:
- Direkt användning av definitionen: Antag f(x) = f(y) och visa att detta leder till x = y.
- Algebraisk manipulation: För reella funktioner kan man ofta lösa f(x) = f(y) och visa att enda lösningen är x = y.
- Derivatan (för differentiabla funktioner): Om f är kontinuerligt deriverbar på ett intervall och f'(x) > 0 för alla x i intervallet, så är f strikt växande och därmed injektiv. Motsvarande gäller om f'(x) < 0 för alla x.
- Horisontella linjens test (grafisk): För funktioner f: R → R är f injektiv om och endast om varje horisontell linje träffar grafen högst en gång.
Exempel
- Injektiv: f(x) = 2x på R är injektiv, eftersom 2x1 = 2x2 innebär x1 = x2.
- Inte injektiv på hela R: f(x) = x^2 på R är inte injektiv eftersom f(1) = f(−1) = 1. Däremot är f injektiv om man begränsar domänen till [0, ∞).
- Avbildningar mellan ändliga mängder: Om A = {1,2,3} och B = {a,b,c,d} kan en injektion f: A → B existera (t.ex. f(1)=a, f(2)=b, f(3)=d) eftersom |A| ≤ |B|.
- Vänsterinvers: Om f : {1,2} → {a,b,c} med f(1)=a, f(2)=b är injektiv. En vänsterinvers g definieras på bildmängden {a,b} genom g(a)=1, g(b)=2 och då är g(f(i)) = i för i=1,2.
Vanliga missförstånd
- Begreppet "1-1" används ofta för injektion, men uttrycket "1-1 korrespondens" kan ibland avses bijektion. Var därför noggrann med sammanhanget.
- En injektiv funktion behöver inte vara surjektiv. Att varje element i kodomänen har en bild är uttrycket för surjektivitet, vilket är en separat egenskap.
Korta bevisidéer
Varför gäller till exempel att sammansättning av injektiva funktioner är injektiv? Antag g ∘ f(x) = g ∘ f(y). Då är g(f(x)) = g(f(y)). Eftersom g är injektiv följer f(x) = f(y). Eftersom också f är injektiv, får vi x = y. Därmed är g ∘ f injektiv.
Sammanfattning
Injektivitet handlar om att olika element i domänen alltid får olika bilder i kodomänen. Det är en grundläggande egenskap som påverkar om en funktion kan ha en vänsterinvers, hur funktioner kan kombineras och hur mängdstorlekar relaterar vid avbildningar mellan ändliga mängder. För att avgöra injektivitet används både algebraiska metoder och grafiska tester beroende på funktionstyp.
Grundläggande egenskaper
Formellt:
f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B}
är en injektiv funktion om ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\Rightarrow \,\,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})}
eller motsvarande
f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} är en injektiv funktion om ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\,\Rightarrow \,\,\,a_{1}=a_{2}}} 
Elementet a {\displaystyle a}
kallas en förbild av elementet b {\displaystyle b}
om f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b}
. Injektioner har en eller inga förbilder för varje element b i B.
Kardinalitet
Kardinalitet är antalet element i en mängd. Kardinaliteten för A={X,Y,Z,W} är 4. Vi skriver #A=4.
- Om kodområdets kardinalitet är mindre än domänens kardinalitet kan funktionen inte vara en injektion. (Det finns t.ex. inget sätt att mappa 6 element till 5 element utan en dubblett).
Exempel
Elementära funktioner
Låt f(x):ℝ→ℝ vara en realvärdesfunktion y=f(x) för ett realvärdesargument x. (Detta innebär att både inmatningen och utmatningen är reella tal.)
- Grafisk betydelse: Funktionen f är en injektion om varje horisontell linje skär grafen för f i högst en punkt.
- Algebraisk betydelse: Funktionen f är en injektion om f(xo )=f(x1 ) innebär att xo =x1 .
Exempel: Den linjära funktionen för en sned linje är 1-1. Det vill säga y=ax+b där a≠0 är en injektion. (Det är också en surjektion och därmed en bijektion.)
Bevis: Låt xo och x1 vara verkliga tal. Anta att linjen ger dessa två x-värden samma y-värde. Detta innebär att a-xo +b=a-x1 +b. Subtrahera b från båda sidorna. Vi får a-xo =a-x1 . Dela nu båda sidorna med a (kom ihåg a≠0). Vi får xo =x1 . Vi har alltså bevisat den formella definitionen och funktionen y=ax+b där a≠0 är en injektion.
Exempel: Polynomfunktionen av tredje graden: f(x)=x3 är en injektion. Polynomfunktionen av tredje graden: f(x)=x3 -3x är dock inte en injektion.
Diskussion 1: En horisontell linje skär grafen för
f(x)=x3 exakt en gång. (Dessutom är det en surjektion.)
Diskussion 2. Varje horisontell linje mellan y=-2 och y=2 skär grafen i tre punkter så denna funktion är inte en injektion. (Det är dock en surjektion.)
Exempel: Den kvadratiska funktionen f(x) = x2 är inte en injektion.
Diskussion: Varje horisontell linje y=c där c>0 skär grafen i två punkter. Denna funktion är alltså inte en injektion. (Den är inte heller en surjektion.)
Anmärkning: Man kan göra en icke-injektiv funktion till en injektiv funktion genom att eliminera en del av domänen. Vi kallar detta för att begränsa domänen. Till exempel, begränsa domänen för f(x)=x² till icke-negativa tal (positiva tal och noll). Definiera
f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} }
där f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}} 
Denna funktion är nu en injektion. (Se även begränsning av en funktion.)
Exempel: Exponentialfunktionen f(x) = 10x är en injektion. (Det är dock inte en surjektion.)
Diskussion: Varje horisontell linje skär grafen i högst en punkt. De horisontella linjerna y=c där c>0 skär grafen i exakt en punkt. De horisontella linjerna y=c där c≤0 inte skär grafen i någon punkt.
Anmärkning: Det faktum att en exponentialfunktion är injektiv kan användas i beräkningar.
a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {\displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}}\,\,\Rightarrow \,\,\,x_{0}=x_{1},\,a>0} 
Exempel: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,2=x-3\,\,\,\Rightarrow \,\,\,x=5} 
| Injektion: ingen horisontell linje skär mer än en punkt i grafen. | ||
|
Injektion. f(x):ℝ→ℝ (och surjektion) |
Injektion. f(x):ℝ→ℝ (och surjektion) |
Inte en injektion. f(x):ℝ→ℝ (är en surjektion) |
|
Inte en injektion. f(x):ℝ→ℝ (inte surjektion) |
Injektion. f(x):ℝ→ℝ (inte surjektion) |
Injektion. f(x):(0,+∞)→ℝ (och surjektion) |
Andra exempel
Exempel: Den logaritmiska funktionen bas 10 f(x):(0,+∞)→ℝ definierad genom f(x)=log(x) eller y=log10 (x) är en injektion (och en surjektion). (Detta är den omvända funktionen av 10x .)
Exempel: Funktionen f:ℕ→ℕ som omvandlar varje naturligt tal n till 2n är en injektion. Varje jämnt tal har exakt en förbild. Varje udda tal har ingen förbild.
Relaterade sidor
Frågor och svar
F: Vad är en injektiv funktion inom matematiken?
S: En injektiv funktion är en funktion f: A → B med egenskapen att distinkta element i domänen mappar till distinkta element i kodomänen.
F: Vad är relationen mellan element i domänen och kodomänen för en injektiv funktion?
S: För varje element b i kodomänen B finns det högst ett element a i domänen A som är sådant att f(a)=b.
Fråga: Vem introducerade termerna injektion, surjektion och bijektion?
S: Nicholas Bourbaki och en grupp andra matematiker introducerade termerna injektion, surjektion och bijektion.
F: Vad betyder en injektiv funktion?
S: En injektiv funktion innebär att varje element i domänen A avbildas mot ett unikt element i kodomänen B.
F: Hur skiljer sig en injektiv funktion från en 1-1 korrespondens?
S: En injektiv funktion kallas ofta en 1-1-funktion (en-till-en) men skiljer sig från en 1-1-korrespondens, som är en bijektiv funktion (både injektiv och surjektiv).
F: Vad är egenskapen hos en injektiv funktion?
S: Egenskapen hos en injektiv funktion är att distinkta element i domänen avbildas mot distinkta element i kodomänen.
F: Vilken betydelse har injektiva funktioner inom matematiken?
S: Injektiva funktioner spelar en viktig roll inom många matematiska områden, inklusive topologi, analys och algebra, på grund av deras egenskap att distinkta element i domänen mappar till distinkta element i kodomänen.
Sök