Algebraisk varieté – definition, egenskaper och Nullstellensatz

Upptäck algebraisk varieté – tydlig definition, viktiga egenskaper och Hilberts Nullstellensatz. Enkelt förklarat för studenter och forskare.

Inom matematiken är algebraiska sorter (även kallade varieteter) ett av de centrala studieobjekten inom algebraisk geometri. I sina tidiga former beskrevs en algebraisk sort som mängden lösningar till ett system av polynomiella ekvationer över de reella eller komplexa talen. Moderna definitioner generaliserar detta begrepp så att man får en formell och flexibel ram som fortfarande bevarar den geometriska intuitionen: en varietet är ett geometriskt objekt som lokalt ser ut som nollmängden av polynom.

Definition och grundläggande begrepp

Det finns två vanliga perspektiv på algebraiska sorter:

• Affina algebraiska uppsättningar: nollmängder i affine rummet k^n definierade av ett ideal I i polynomringen k[x1,…,xn].
• Projektiva varieteter: nollmängder av homogena polynom i projektivt rum P^n, vilket ger en kompaktare version lämplig för homogena ekvationer.

Man skiljer ofta mellan begreppen algebraisk uppsättning (en allmän lösningsmängd) och algebraisk varietet (ofta krävs irreducibilitet). En mängd är irreducibel om den inte kan skrivas som union av två strikt mindre slutsatta mängder i Zariski-topologin.

Zariski-topologin och irreducibilitet

På k^n definieras Zariski-topologin genom att de algebraiska uppsättningarna är de slutna mängderna. Denna topologi är ovanlig ur klassisk analytisk synpunkt (den är mycket "grov"), men är naturlig ur algebraiskt perspektiv eftersom algebraiska egenskaper motsvarar topologiska egenskaper i Zariski-topologin. Irreducibilitet spelar en central roll: för en irreducibel affinsk varietet V är koordinatringen k[V]=k[x1,…,xn]/I(V) ett integritetsområde, och dess fraktionskropp k(V) kallas varietetens funktionsfält.

Koordinatring, morfier och dimension

Koordinatringen k[V] innehåller information om varieteten: element i k[V] representerar reguljära funktioner på V. Morphismer mellan varieteter motsvaras av ringhomomorfismer mellan deras koordinatringar i motsatt riktning (en kontravariante ekvivalens för affina varieteter). Dimensionen av en varietet kan definieras algebraiskt som Krull-dimensionen av k[V] och geometriskt som maximal längd av en kedja av irreducibla delmängder.

Singulariteter och tangentrum

En viktig skillnad mellan en variation och en mångfald är att en variation kan ha singulära punkter, där den lokala geometrier skiljer sig från euklidiska rummet. En punkt p på en varietet är singulär om den partiella derivatornas Jacobimatris inte har maximal rang vid p. Tangentrummet i en punkt ges av lösningarna till de linjära approximationerna (Jacobi-villkoren); i en reguljär punkt har tangentrummets dimension samma värde som varietetens dimension.

Affina vs projektiva varieteter

Affina varieteter studeras som nollmängder i k^n; projektiva varieteter är definierade i projektivt rum och hanterar homogena ekvationer. Projektiv geometri är naturlig när man vill studera beteende "vid oändligheten" och ofta ger projektivering bättre kompakthetsegenskaper (t.ex. varje icke-konstant homogen polynomial definierar en sluten mängd i P^n). Många resultat formuleras både i den affina och i den projektiva situationen med lämpliga tekniska ändringar.

Hilberts Nullstellensatz

Algebrans grundläggande sats och dess generalisering Hilberts Nullstellensatz kopplar ihop algebra och geometri på ett grundläggande sätt. I korthet, för ett algebraiskt slutet fält k (t.ex. k = de komplexa talen):

• Svag Nullstellensatz: Ett ideal I i k[x1,…,xn] är maximalt om och endast om k[x1,…,xn]/I är en ändlig kroppsutvidgning av k; i synnerhet motsvarar maximala ideal punkter i k^n när k är algebraiskt slutet.
• Stark Nullstellensatz: För varje ideal I i k[x1,…,xn] gäller I(V(I)) = rad(I), där V(I) är nollmängden av I och rad(I) är rota av I (alla polynom som någon positiv potens ligger i I). Detta ger en bijektion mellan radikala ideal och algebraiska uppsättningar i k^n.

Genom Nullstellensatz etableras en grundläggande korrespondens mellan geometriska sajter (varieteter/uppsättningar) och algebraiska objekt (idealer och ringar). Med denna korrespondens kan många geometriska frågor översättas till ringteori, vilket är en av algebraisk geometri mest utmärkande drag jämfört med andra delar av geometrin.

Egenskaper och exempel

Några vanliga exempel och observationer:

• En konisk kurva definierad av ett irreducibelt polynom i två variabler är en irreducibel plane varietet av dimension 1 (en kurva).
• Cirkelns ekvation x^2 + y^2 − 1 är en algebraisk kurva; över de reella talen ser man ofta topologiska egenskaper som komponenter, medan över de komplexa talen behandlas krondroppar och singulariteter annorlunda.
• En kurva med ekvation y^2 = x^3 har en singulär punkt i origo (en krusning), vilket kan analyseras via Jacobimatrisen och tangentrum.

Relation till mångfalder och vidare generaliseringar

Begreppet varietet liknar begreppet mångfald, men skiljer sig främst genom att varieteter kan vara singulära och är definierade av algebraiska (polynomiella) villkor. Modern algebraisk geometri går ofta längre än klassiska varieteter och använder begreppet schemor och moduli för att hantera ännu finare fenomen (t.ex. icke-reducerbara komponenter, aritmetiska aspekter över godtyckliga basfält eller ringspektra).

Sammanfattning

Algebraiska sorter är centrala i algebraisk geometri eftersom de förbinder polynomens algebraiska struktur med geometriska objekt. Genom verktyg som Zariski-topologin, koordinatringar och Hilberts Nullstellensatz kan man översätta geometriska problem till algebraiska och tvärtom, vilket gör fältet både kraftfullt och rikt på samband mellan algebra och geometri.

Frågor och svar

F: Vad är algebraiska sorter?

F: Hur skiljer sig moderna definitioner från den ursprungliga definitionen?

F: Vad är en skillnad mellan en variation och en mångfald?

Fråga: Vad fastställs i algebrans grundläggande sats?

F: Vad ger Hilberts Nullstellensatz?

Fråga: Hur har denna korrespondens använts av matematiker?

Sök med bokstav