Algebraisk varietet
Inom matematiken är algebraiska sorter (även kallade sorter) ett av de centrala studieobjekten inom algebraisk geometri. I de första definitionerna av algebraisk variation definierades den som mängden lösningar på ett system av polynomiella ekvationer över de reella eller komplexa talen. Moderna definitioner av en algebraisk sort generaliserar detta begrepp samtidigt som de försöker bevara den geometriska intuitionen bakom den ursprungliga definitionen.
Konventionerna för definitionen av en algebraisk sort skiljer sig åt: Vissa författare kräver att en "algebraisk variation" per definition är irreducerbar (vilket innebär att den inte är föreningen av två mindre mängder som är slutna i Zariski-topologin), medan andra inte kräver det. När den förstnämnda konventionen används kallas icke-irreducerbara algebraiska sorter för algebraiska uppsättningar.
Begreppet variation liknar begreppet mångfald. En skillnad mellan en variation och en mångfald är att en variation kan ha singulära punkter, medan en mångfald inte har det. Algebrans grundläggande sats, som bevisades omkring år 1800, upprättar en länk mellan algebra och geometri genom att visa att ett moniskt polynom i en variabel med komplexa koefficienter (ett algebraiskt objekt) bestäms av mängden av dess rötter (ett geometriskt objekt). Genom att generalisera detta resultat ger Hilberts Nullstellensatz en grundläggande korrespondens mellan ideal i polynomialringar och algebraiska uppsättningar. Med hjälp av Nullstellensatz och relaterade resultat har matematiker etablerat en stark korrespondens mellan frågor om algebraiska mängder och frågor om ringteori. Denna korrespondens är den algebraiska geometrins särdrag bland de andra delområdena inom geometrin.
Den tvinnade kuben är en projektiv algebraisk sort.
Frågor och svar
F: Vad är algebraiska sorter?
S: Algebraiska sorter är ett av de centrala studieobjekten inom algebraisk geometri. De definieras som mängden lösningar på ett system av polynomiella ekvationer över de reella eller komplexa talen.
F: Hur skiljer sig moderna definitioner från den ursprungliga definitionen?
S: Moderna definitioner försöker bevara den geometriska intuitionen bakom den ursprungliga definitionen samtidigt som den generaliseras. Vissa författare kräver att en "algebraisk variation" per definition är irreducerbar (vilket innebär att den inte är föreningen av två mindre mängder som är slutna i Zariski-topologin), medan andra inte kräver det.
F: Vad är en skillnad mellan en variation och en mångfald?
S: En variation kan ha singulära punkter, medan en mångfald inte har det.
Fråga: Vad fastställs i algebrans grundläggande sats?
Svar: Algebrans fundamentala sats skapar en länk mellan algebra och geometri genom att visa att ett moniskt polynom i en variabel med komplexa koefficienter (ett algebraiskt objekt) bestäms av mängden av dess rötter (ett geometriskt objekt).
F: Vad ger Hilberts Nullstellensatz?
S: Hilberts Nullstellensatz ger en grundläggande korrespondens mellan ideal i polynomialringar och algebraiska uppsättningar.
Fråga: Hur har denna korrespondens använts av matematiker?
Svar: Matematiker har med hjälp av denna korrespondens upprättat en stark överensstämmelse mellan frågor om algebraiska mängder och frågor om ringteori.
F: Vad gör detta särskilda område unikt bland andra delområden inom geometrin? S: Denna starka korrespondens mellan frågor om algebraiska mängder och frågor om ringteori gör detta område unikt bland andra delområden inom geometrin.
