Algebraisk geometri
Algebraisk geometri är en gren av matematiken som studerar polynomiska ekvationer. Modern algebraisk geometri bygger på mer abstrakta tekniker inom abstrakt algebra, särskilt kommutativ algebra, med geometrins språk och problem.
De viktigaste studieobjekten inom algebraisk geometri är algebraiska varieteter, som är geometriska manifestationer av uppsättningar av lösningar på system av polynomiella ekvationer. Exempel på de mest studerade klasserna av algebraiska sorter är: algebraiska kurvor i plan, som omfattar linjer, cirklar, parabler, ellipser, hyperbler, kubiska kurvor som elliptiska kurvor och kvartiska kurvor som lemniscater och Cassini-ovaler. En punkt i planet tillhör en algebraisk kurva om dess koordinater uppfyller en given polynomisk ekvation. Grundläggande frågor inbegriper studier av punkter av särskilt intresse, t.ex. singulära punkter, böjningspunkter och punkter i oändlighet. I mer avancerade frågor ingår kurvans topologi och relationer mellan kurvor som ges av olika ekvationer.
Algebraisk geometri har en central plats i den moderna matematiken. De begrepp som används i geometri kopplar den till så olika områden som komplex analys, topologi och talteori. I början handlade algebraisk geometri om att studera system av polynomiska ekvationer i flera variabler. Algebraisk geometri börjar där ekvationslösning slutar: I många fall är det viktigare att hitta egenskaperna hos alla lösningar som en given uppsättning ekvationer har än att hitta en särskild lösning: detta leder in på några av de djupaste områdena i hela matematiken, både begreppsmässigt och tekniskt.
Under 1900-talet har algebraisk geometri delats upp i flera delområden.
- Huvuddelen av algebraisk geometri ägnar sig åt att studera komplexa punkter i algebraiska sorter och mer allmänt punkter med koordinater i ett algebraiskt slutet fält.
- Studiet av punkterna i en algebraisk variation med koordinater i fältet för de rationella talen eller i ett talfält blev aritmetisk geometri (eller mer klassiskt diophantinsk geometri), ett delområde av algebraisk talteori.
- Studiet av de reella punkterna i en algebraisk variation är ämnet reell algebraisk geometri.
- En stor del av singularitetsteorin ägnas åt singulariteter i algebraiska varieteter.
- När datorer blev vanligare utvecklades ett område som kallas "computational algebraic geomery". Det handlar om skärningspunkten mellan algebraisk geometri och datoralgebra. Det handlar om utveckling av algoritmer och programvara för att studera och finna egenskaper hos uttryckligen givna algebraiska sorter.
En stor del av utvecklingen av huvudströmmen inom algebraisk geometri under 1900-talet skedde inom en abstrakt algebraisk ram, med ökande betoning på "inneboende" egenskaper hos algebraiska sorter som inte är beroende av något särskilt sätt att bädda in sorten i ett omgivande koordinatrum. Utvecklingen inom topologi, differentialgeometri och komplex geometri skedde i stort sett på samma sätt. Ett viktigt resultat av denna abstrakta algebraiska geometri är Grothendiecks schemateori, som gör det möjligt att använda sheafteori för att studera algebraiska sorter på ett sätt som är mycket likt dess användning vid studiet av differentiella och analytiska mångfaldsformer. I klassisk algebraisk geometri kan en punkt i en affin sort identifieras med hjälp av Hilberts Nullstellensatz med ett maximalt ideal i koordinatringen, medan punkterna i det motsvarande affina schemat alla är primtal i denna ring. Detta innebär att en punkt i ett sådant schema kan vara antingen en vanlig punkt eller en undervariant. Detta tillvägagångssätt gör det också möjligt att förena språket och verktygen i klassisk algebraisk geometri, som huvudsakligen handlar om komplexa punkter, och algebraisk talteori. Wiles bevis för den långvariga gissning som kallas Fermats sista sats är ett exempel på kraften i detta tillvägagångssätt.
Denna Togliatti-yta är en algebraisk yta av femte graden. Bilden representerar en del av dess reella plats.
Frågor och svar
Fråga: Vad är algebraisk geometri?
S: Algebraisk geometri är en gren av matematiken som studerar polynomiska ekvationer.
F: Vilka tekniker används i modern algebraisk geometri?
S: I modern algebraisk geometri används mer abstrakta tekniker från abstrakt algebra, t.ex. kommutativ algebra, för att behandla geometrins språk och problem.
F: Vilken typ av ekvationer studerar algebraisk geometri?
S: Algebraisk geometri studerar polynomiska ekvationer.
F: Hur används abstrakt algebra i geometri?
S: Den använder abstrakt algebra, särskilt kommutativ algebra, för att förstå språket och problemen i samband med geometri.
F: Finns det en särskild typ av språk som används inom detta område?
S: Ja, modern algebraisk geometri använder det språk och de problem som är förknippade med geometri.
F: Hur har den moderna tekniken påverkat detta område?
S: Modern teknik har gjort det möjligt att använda mer avancerade tekniker från abstrakt algebra för att studera polynomialekvationer inom detta område.
