Eulers identitet

Matematiskt bevis för Eulers identitet med hjälp av Taylor-serien

Många ekvationer kan skrivas som en serie termer som adderas. Detta kallas en Taylor-serie

Exponentialfunktionen e x {\displaystyle e^{x}} kan skrivas som Taylor-serien

e x = 1 + x + x + x 2 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}

Sinus kan också skrivas som

sin x = x - x - x 3 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}}}

och Cosinus som

cos x = 1 - x 2 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}}}{x^{2n}}}

Här ser vi ett mönster ta form. e x {\displaystyle e^{x}} verkar vara en summa av sinus och cosinus Taylor Series, fast med alla tecken ändrade till positiva. Den identitet vi faktiskt bevisar är e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} .

På vänster sida finns alltså e i x {\displaystyle e^{ix}} vars Taylor-serie är 1 + i x - x 2 2 2 ! - i x 3 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2}} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots }

Vi kan se ett mönster här, nämligen att varannan term är i gånger sinustermer och att de andra termerna är cosinustermer.

På höger sida står cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)} vars Taylor-serie är Taylor-serien för cosinus plus i gånger Taylor-serien för sinus, vilket kan visas som:

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )}

Om vi adderar dessa samman, får vi följande

1 + i x - x 2 2 2 ! - i x 3 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots }

Därför:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}

Om vi nu ersätter x med π {\displaystyle \pi } har vi..

• e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )}

Då vet vi att

• cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1}

och

• sin ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0}

Därför:

• e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1}
• e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

QED