Imaginära enheten | ett talvärde som endast existerar utanför de reella talen

Inom matematiken är den imaginära enheten eller {\displaystyle i} , ett talvärde som endast existerar utanför de reella talen och som används i algebra. När vi multiplicerar den imaginära enheten med ett verkligt tal kallar vi resultatet för ett imaginärt tal. Även om imaginära tal kan användas för att lösa många matematiska problem kan de inte representeras av en mängd verkliga föremål.


 

Historia

De imaginära enheterna uppfanns för att besvara den polynomiska ekvationen {\displaystyle x^{2}+1=0}, som normalt inte har någon lösning (se nedan). Termen "imaginärt" kommer från René Descartes och var tänkt som en förolämpning eftersom imaginära tal, liksom noll och negativa tal vid andra tillfällen i historien, ansågs vara värdelösa eftersom de inte är naturliga. Det var inte förrän under senare århundraden som arbetet av matematiker som Leonhard Euler, Augustin-Louis Cauchy och Carl Friedrich Gauss skulle visa att imaginära tal var mycket viktiga för vissa områden inom algebra.



 

Definition

En vanlig regel för att multiplicera och dividera tal är att om tecknen är olika blir resultatet negativt (t.ex. {\displaystyle 4\times -3=-12} ), men om båda talen har samma tecken blir resultatet positivt (t.ex. {\displaystyle 5\times 6=30} och {\displaystyle -10\times -10=100} ). Detta leder dock till problem med kvadratrotsantal av negativa tal, eftersom två negativa tal alltid ger ett positivt tal:

{\displaystyle 2\times 2=2^{2}=4}

så {\displaystyle {\sqrt {4}}=2}

men {\displaystyle {\sqrt {-4}}\neq -2}

som {\displaystyle -2\times -2=(-2)^{2}=4}

För att fylla ut denna värdebrist skapades den imaginära enheten, som definieras som {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} och {\displaystyle i\times i=i^{2}=-1} . Med hjälp av imaginära tal kan vi lösa vårt sista exempel:

{\displaystyle 2i\times 2i=4i^{2}=-4}

{\displaystyle -2i\times -2i=4i^{2}=-4}

{\displaystyle {\sqrt {4}}=2} och {\displaystyle {\sqrt {-4}}=2i}

 

Kvadratroten av i

Även om den imaginära enheten kommer från lösningen av en kvadratisk ekvation (en ekvation där den okända är kvadrerad) kan vi fråga oss om vi behöver skapa nya talvärden som den imaginära enheten för att lösa ekvationer där högre potenser av x som {\displaystyle x^{3}} och {\displaystyle x^{4}} förekommer. Exempelvis har ekvationen {\displaystyle x^{4}+1=0} en fjärde potens av den okända variabeln x . Behöver vi nya enheter som {\displaystyle i} för att lösa denna ekvation?

Vi kan också ställa en liknande fråga: vi behöver skapa ett nytt tal för att hitta kvadratroten av -1, och vi kallar detta nya tal {\displaystyle i} . Behöver vi skapa ett nytt tal för att hitta kvadratroten eller kvadratroterna av {\displaystyle i} ?

Det visar sig att svaret på båda frågorna är nej. För den andra frågan kan kvadratrötterna av {\displaystyle i} skrivas i termer av en reell del och en imaginär del. Mer specifikt kan kvadratrötterna av {\displaystyle i} skrivas som: {\displaystyle \pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)} . Vi kan kontrollera att detta verkligen är kvadratrötterna av {\displaystyle i} genom att kvadrera dem och se om vi får {\displaystyle i} :

{\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ }

{\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ }

{\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\ }

{\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ }

{\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ }

{\displaystyle =i\ }

Vi kan också notera att {\displaystyle (\pm {\sqrt {i}})^{4}=(i)^{2}=-1} , så {\displaystyle \pm {\sqrt {i}}} löser ekvationen {\displaystyle x^{4}+1=0}, vilket delvis besvarar vår första fråga - för ekvationen {\displaystyle x^{4}+1=0}är lösningarna fortfarande komplexa tal (resultatet av att addera ett verkligt tal och ett imaginärt tal). Det finns ytterligare två lösningar för denna specifika ekvation, {\displaystyle x=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1-i)} , och de är också komplexa tal. Inga nya tal som den imaginära enheten behövs för att lösa ekvationen.

I allmänhet kan alla ekvationer där den okända uppträder med hela tals potenser lösas med komplexa tal, så när vi väl känner till den imaginära enheten kan vi lösa alla ekvationer av denna form. Detta resultat är så viktigt att det kallas algebraens grundläggande sats.



 

Potenser av i

Styrkorna {\displaystyle i} eller {\displaystyle i} följer ett regelbundet och förutsägbart mönster:

{\displaystyle i^{-4}=1}

{\displaystyle i^{-3}=i}

{\displaystyle i^{-2}=-1}

{\displaystyle i^{-1}=-i}

{\displaystyle i^{0}=1}

{\displaystyle i^{1}=i}

{\displaystyle i^{2}=-1}

{\displaystyle i^{3}=-i}

{\displaystyle i^{4}=1}

{\displaystyle i^{5}=i}

{\displaystyle i^{6}=-1}

{\displaystyle i^{7}=-i}

Som framgår är värdena {\displaystyle 1,i,-1,-i} varje gång vi multiplicerar med ytterligare ett {\displaystyle i} och upprepar sedan.



 

Frågor och svar

F: Vad är den imaginära enheten?


S: Den imaginära enheten är ett talvärde som endast existerar utanför de reella talen och används i algebra.

F: Hur använder vi den imaginära enheten?


S: Vi multiplicerar den imaginära enheten med ett reellt tal för att skapa ett imaginärt tal.

F: Vad används imaginära tal till?


S: Imaginära tal kan användas för att lösa många matematiska problem.

F: Kan vi representera ett imaginärt tal med verkliga föremål?


S: Nej, vi kan inte representera ett tänkt tal med verkliga föremål.

F: Varifrån kommer den imaginära enheten?


S: Den imaginära enheten kommer från matematik och algebra.

F: Är den imaginära enheten en del av de reella talen?


S: Nej, den existerar utanför de reella talens område.

F: Hur beräknar man ett imaginärt tal? S: Man beräknar ett imaginärt tal genom att multiplicera ett reellt tal med den imaginära enheten.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3