AlegsaOnline.com

Taylorserie och Maclaurinserie: definition, beräkning och exempel

Taylor- och Maclaurinserier: tydlig definition, steg-för-steg beräkning och konkreta exempel för att approximera funktioner och förstå derivator snabbt.

Författare: Leandro Alegsa

05-04-2026

En Taylor-serie är en idé som används inom datavetenskap, kalkyl, kemi, fysik och andra typer av matematik på högre nivå. Det är en serie som används för att skapa en uppskattning (gissning) av hur en funktion ser ut. Det finns också en speciell typ av Taylor-serie som kallas Maclaurin-serie.

Teorin bakom Taylor-serien är att om man väljer en punkt på koordinatplanet (x- och y-axlarna) kan man gissa hur en funktion kommer att se ut i området runt den punkten. Detta görs genom att ta funktionens derivata och addera dem alla tillsammans. Tanken är att det är möjligt att addera det oändliga antalet derivat och få fram en enda ändlig summa.

Inom matematiken visar en Taylor-serie en funktion som summan av en oändlig serie. Summans termer tas från funktionens derivat. Taylor-serier kommer från Taylors sats.

Definition och formel

Givet en funktion f som har oändligt många derivator i en punkt a, ges dess Taylor-serie kring a av

f(x) = ∑_n=0^∞ f⁽ⁿ⁾(a) / n! · (x − a)ⁿ

Här betyder f⁽ⁿ⁾(a) den n:te derivatan av f vid punkten a och n! är n fakultet. Om a = 0 får vi den särskilda fallet, Maclaurin-serien:

f(x) = ∑_n=0^∞ f⁽ⁿ⁾(0) / n! · xⁿ

Hur man beräknar en Taylor-polynom (praktisk metod)

Välj expansionspunkten a (för Maclaurin väljs a = 0).
Beräkna f(a), f'(a), f''(a), ..., upp till önskad ordning n.
Formera Taylor-polynomet av grad n (partialsumman): T_n(x) = ∑_k=0ⁿ f^(k)(a) / k! · (x−a)^k.
Använd restled (se nedan) för att uppskatta felet mellan f(x) och T_n(x).

Restterm och konvergens

Att skriva en funktion som sin Taylor-serie kräver inte bara att deriverna finns utan också att serien konvergerar till funktionen. Ett vanligt sätt att uppskatta felet efter n termer ges av Lagranges restterm:

R_n(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n+1)! · (x − a)ⁿ⁺¹ för något ξ mellan a och x.

Om R_n(x) → 0 när n → ∞ för varje x i ett intervall, så konvergerar Taylor-serien till f(x) där. Konvergensområdet bestäms ofta med hjälp av rot- eller kvottestet och kan vara ett ändligt intervall, halvt öppet intervall eller hela ℝ (till exempel för e^x).

En funktion som är lika med sin Taylor-serie i en omgivning av a kallas analytisk (eller entire om den är analytisk för alla reella/komplexa x).

Vanliga exempel

Exponentialfunktionen e^x (Maclaurin): f⁽ⁿ⁾(0) = 1 för alla n, alltså
e^x = ∑_n=0^∞ xⁿ/n! (konvergerar för alla x).
Sinus och cosinus (Maclaurin):
sin x = ∑_n=0^∞ (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!,

cos x = ∑_n=0^∞ (−1)ⁿ x²ⁿ/(2n)!.
Logaritmen ln(1+x) (Maclaurin, −1 < x ≤ 1):
ln(1+x) = ∑_n=1^∞ (−1)ⁿ⁺¹ xⁿ/n, för |x| < 1 (vid x = 1 konvergerar den villkorligt).
Binomialserien (1 + x)^α för reellt α:
(1 + x)^α = ∑_n=0^∞ (α choose n) xⁿ, där (α choose n) = α(α−1)...(α−n+1)/n!, giltig för |x| < 1.

Tillämpningar

Numerisk approximation: beräkna funktioner med polynom när exakta värden är svåra eller dyra att få fram.
Lösning av differentialekvationer via serieutveckling.
Fysik och teknik: linjärisering av icke-linjära uttryck runt jämviktspunkter.
Analys av funktioners beteende nära en punkt, t.ex. extremvärdesanalys och asymptotisk utveckling.

Sammanfattning

En Taylor-serie uttrycker en funktion som en oändlig summa av termer baserade på funktionens derivator i en given punkt. Maclaurin-serien är fallet när expansionspunkten är 0. För praktisk användning används ofta ett ändligt Taylor-polynom och en restterm för att uppskatta felet. Viktiga frågor vid arbete med Taylor-serier är beräkning av koefficienterna, bestämning av konvergensområdet och uppskattning av restledet.

Historia

Den antika grekiska filosofen Zeno av Elea kom först med idén om denna serie. Resultatet blev den paradox som kallas "Zenos parodoxa". Han trodde att det skulle vara omöjligt att addera ett oändligt antal värden och få ett enda ändligt värde som resultat.

En annan grekisk filosof, Aristoteles, kom med ett svar på den filosofiska frågan. Det var dock Archimedes som kom med en matematisk lösning med hjälp av sin utmattningsmetod. Han kunde bevisa att när något delas upp i ett oändligt antal små bitar kommer de ändå att bli en enda helhet när alla bitar läggs ihop igen. Den gamla kinesiska matematikern Liu Hui bevisade samma sak flera hundra år senare.

De tidigaste kända exemplen på Taylor-serien är Mādhava från Sañgamāgrama i Indien på 1300-talet. Senare indiska matematiker skrev om hans arbete med de trigonometriska funktionerna sinus, cosinus, tangent och arktangent. Inga av Mādhavas skrifter eller uppteckningar finns fortfarande kvar idag. Andra matematiker baserade sitt arbete på Mādhavas upptäckter och arbetade mer med dessa serier fram till 1500-talet.

James Gregory, en skotsk matematiker, arbetade inom detta område på 1600-talet. Gregory studerade Taylor-serien och publicerade flera Maclaurin-serier. År 1715 upptäckte Brook Taylor en allmän metod för att tillämpa serien på alla funktioner. (All tidigare forskning visade hur man tillämpade metoden på endast specifika funktioner). Colin Maclaurin publicerade ett specialfall av Taylor-serien på 1700-talet. Denna serie, som är baserad runt noll, kallas Maclaurin-serien.

Definition

En Taylor-serie kan användas för att beskriva en funktion ƒ(x) som är en jämn funktion (eller, i matematiska termer, "oändligt differentierbar"). Taylor-serien används sedan för att beskriva hur funktionen ser ut i närheten av ett visst tal a.

Denna Taylor-serie, skriven som en potensserie, ser ut på följande sätt:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f'''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . } $f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .$

Denna formel kan också skrivas i sigma-notation som:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}} $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}$

Här är n! faktorn av n. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) är den n:e derivatan av ƒ i punkten a. a {\displaystyle a} är ett tal i funktionens domän. Om Taylor-serien för en funktion är lika med denna funktion kallas funktionen för en "analytisk funktion".

Maclaurin-serien

När a = 0 {\displaystyle a=0} $a=0$ kallas funktionen för en Maclaurin-serie. Maclaurin-serien skriven som en potensserie ser ut på följande sätt:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f'''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . } $f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots .$

När den skrivs i sigma-notation är Maclaurin-serien:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}}} $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}$

Gemensamma Taylor-serier

Några viktiga Taylor-serier och Maclaurin-serier är följande.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ för alla x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}}{3!}}+{\frac {x^{5}}}{5!}}-\cdots {\text{ för alla }}x\! } $\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!$

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ för alla x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}}{(2n)!}}x^{2n}}=1-{\frac {x^{2}}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ för alla }}x\! } $\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!$

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 för alla x {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ för alla }}x\! } $\sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all }}x\!$

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n för alla x {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ för alla }}x\! } $\cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for all }}x\!$

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ för alla x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ för alla }}x\! } $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ for all }}x\!$

1 1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ for all | x | < 1 { {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all }}|x|<1} ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all }}|x|<1$

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n för alla | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}}{n}}x^{n}{\text{ för alla }}|x|<1} $\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{\text{ for all }}|x|<1$

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ for | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}}{3}}}+{\frac {2x^{5}}}{15}}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}}\! } $\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

Där B n {\displaystyle B_{n}} $B_{n}$ är det n:e Bernoulli-talet och ln {\displaystyle \ln } $\ln$ är den naturliga logaritmen.

Frågor och svar

F: Vad är en Taylor-serie?

S: En Taylor-serie är en idé som används inom datavetenskap, kalkyl, kemi, fysik och andra typer av matematik på högre nivå. Det är en serie som används för att skapa en uppskattning (gissning) av hur en funktion ser ut.

F: Vad är skillnaden mellan Taylor-serier och Maclaurin-serier?

S: Det finns också en speciell typ av Taylor-serie som kallas Maclaurin-serie.

Q: Vad är teorin bakom Taylor-serien?

S: Teorin bakom Taylor-serien är att om man väljer en punkt på koordinatplanet (x- och y-axlarna), så kan man gissa hur en funktion kommer att se ut i området runt den punkten.

F: Hur skapas funktionen med hjälp av Taylor-serier?

S: Detta görs genom att ta derivatorna av funktionen och addera dem alla tillsammans. Tanken är att det är möjligt att addera det oändliga antalet derivator och få en enda ändlig summa.

F: Vad visar en Taylor-serie inom matematiken?

S: Inom matematiken visar en Taylor-serie en funktion som summan av en oändlig serie. Summans termer hämtas från funktionens derivata.

F: Var kommer Taylor-serier ifrån?

S: Taylorserier kommer från Taylors teorem.

F: Inom vilka områden är Taylor-serien vanligt förekommande?

S: Taylor-serien används ofta inom datavetenskap, kalkyl, kemi, fysik och andra typer av matematik på högre nivå.