Taylorserie och Maclaurinserie: definition, beräkning och exempel

Den antika grekiska filosofen Zeno av Elea kom först med idén om denna serie. Resultatet blev den paradox som kallas "Zenos parodoxa". Han trodde att det skulle vara omöjligt att addera ett oändligt antal värden och få ett enda ändligt värde som resultat.

En annan grekisk filosof, Aristoteles, kom med ett svar på den filosofiska frågan. Det var dock Archimedes som kom med en matematisk lösning med hjälp av sin utmattningsmetod. Han kunde bevisa att när något delas upp i ett oändligt antal små bitar kommer de ändå att bli en enda helhet när alla bitar läggs ihop igen. Den gamla kinesiska matematikern Liu Hui bevisade samma sak flera hundra år senare.

De tidigaste kända exemplen på Taylor-serien är Mādhava från Sañgamāgrama i Indien på 1300-talet. Senare indiska matematiker skrev om hans arbete med de trigonometriska funktionerna sinus, cosinus, tangent och arktangent. Inga av Mādhavas skrifter eller uppteckningar finns fortfarande kvar idag. Andra matematiker baserade sitt arbete på Mādhavas upptäckter och arbetade mer med dessa serier fram till 1500-talet.

James Gregory, en skotsk matematiker, arbetade inom detta område på 1600-talet. Gregory studerade Taylor-serien och publicerade flera Maclaurin-serier. År 1715 upptäckte Brook Taylor en allmän metod för att tillämpa serien på alla funktioner. (All tidigare forskning visade hur man tillämpade metoden på endast specifika funktioner). Colin Maclaurin publicerade ett specialfall av Taylor-serien på 1700-talet. Denna serie, som är baserad runt noll, kallas Maclaurin-serien.

En Taylor-serie kan användas för att beskriva en funktion ƒ(x) som är en jämn funktion (eller, i matematiska termer, "oändligt differentierbar"). Taylor-serien används sedan för att beskriva hur funktionen ser ut i närheten av ett visst tal a.

Denna Taylor-serie, skriven som en potensserie, ser ut på följande sätt:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f'''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . }

Denna formel kan också skrivas i sigma-notation som:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}}

Här är n! faktorn av n. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) är den n:e derivatan av ƒ i punkten a. a {\displaystyle a} är ett tal i funktionens domän. Om Taylor-serien för en funktion är lika med denna funktion kallas funktionen för en "analytisk funktion".

Maclaurin-serien

När a = 0 {\displaystyle a=0} kallas funktionen för en Maclaurin-serie. Maclaurin-serien skriven som en potensserie ser ut på följande sätt:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f'''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . }

När den skrivs i sigma-notation är Maclaurin-serien:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}}}

Några viktiga Taylor-serier och Maclaurin-serier är följande.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ för alla x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}}{3!}}+{\frac {x^{5}}}{5!}}-\cdots {\text{ för alla }}x\! }

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ för alla x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}}{(2n)!}}x^{2n}}=1-{\frac {x^{2}}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ för alla }}x\! }

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 för alla x {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ för alla }}x\! }

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n för alla x {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ för alla }}x\! }

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ för alla x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ för alla }}x\! }

1 1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ for all | x | < 1 { {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all }}|x|<1}

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n för alla | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}}{n}}x^{n}{\text{ för alla }}|x|<1}

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ for | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}}{3}}}+{\frac {2x^{5}}}{15}}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}}\! }

Där B n {\displaystyle B_{n}} är det n:e Bernoulli-talet och ln {\displaystyle \ln } är den naturliga logaritmen.