Magma — en algebraisk struktur: definition och exempel
Utforska magma: enkel introduktion till algebraisk struktur, tydlig definition, egenskaper och konkreta exempel för studier i abstrakt algebra.
Inom matematiken är en magma ett slags algebraisk struktur. Det är en mängd tillsammans med en binär operation på den mängden — det vill säga en funktion som för varje ordnat par av element i mängden ger ett element i samma mängd.
Formellt: en magma är ett par (X, •) där X är en mängd och • är en avbildning X × X → X. Kravet är endast slutenhet: för alla a, b i X ligger a • b i X.
Enkelt förklarat
En binär operation tar två element ur mängden (de kan vara samma) och returnerar ett element i samma mängd. Om vi ger mängden en etikett (t.ex. X) och den binära operationen en etikett (t.ex. •), skriver vi magman som (X, •).
Exempel
- Hela talen ℤ med addition (ℤ, +) är en magma — här uppfylls dessutom associativitet och finns neutralt element, så det är även en grupp.
- Hela talen ℤ med subtraktion (ℤ, −) är också en magma: subtraktion är definierad för alla heltal och resultatet är ett heltal, men operationen är inte associativ.
- En mängd med en godtyckligt given operations-tabell (t.ex. en tvåelements-mängd där man anger resultat för varje par) ger ofta enkla exempel på magmor.
- Den tomma mängden ∅ kan ses som en magma om man accepterar att den tomma avbildningen ∅ × ∅ → ∅ är en binär operation (det finns då inga par att utvärdera).
- Räknbara mängder där operationen ibland inte är definierad (t.ex. reella tal med division, där delning med noll inte är tillåten) är inte magmor om man menar hela mängden som bär operationen — slutenhet saknas då.
Egenskaper och varianter
- Associativitet behöver inte gälla i en magma. Om associativitet införs blir strukturen en semigrup.
- Om det dessutom finns ett neutralt element blir det en monoid, och om varje element har en invers blir det en grupp.
- Submagma: en delmängd Y ⊆ X som är sluten under samma operation utgör en submagma.
- Homomorfism: en avbildning f: (X, •) → (Y, ★) som bevarar operationen (f(a • b) = f(a) ★ f(b)) är en magma-homomorfism.
- Direkt produkt: produkten av två magmor blir en magma med operation definierad komponentvis.
- Fri magma: en konstruktion som genererar alla formella uttryck (ord) över en alfabetisk mängd utan att lägga till relationer — användbar inom teoretisk datalogi och algebra.
Anmärkningar
- Magma är en mycket generell struktur: många vanliga algebraiska strukturer är magmor med extra egenskaper.
- Vid formell behandling är det viktigt att kontrollera slutenhet: operationen måste alltid ge ett element i samma mängd.
Exempel
De naturliga talen med addition bildar en magma. Eftersom mängden naturliga tal skrivs som N {\displaystyle \mathbb {N} }
och addition skrivs som + {\displaystyle +}
skrivs magman som ( N , + ) {\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}
. Namnet på magman skulle vara "De naturliga talen under addition".
Helheterna med multiplikation bildar en magma. Eftersom mängden heltal skrivs som Z {\displaystyle \mathbb {Z} }
och multiplikation (i abstrakt matematik) skrivs som ⋅ {\displaystyle \cdot }
skrivs magman som ( Z , ⋅ ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,\cdot )}
. Namnet på magman skulle vara "The integers under multiplication".
De verkliga talen som delas bildar ingen magma. Detta beror på att talen inte kan divideras med 0. En binär operation kräver att två element kan tas från mängden (i det här fallet i ordning) för att producera ett annat element från mängden. De verkliga talen utan 0 skrivs som R ∗ {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}} 
. Det kan visas att ( R ∗ , ÷ ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{*},\div )}
är en magma.
Sök