Binär operation i matematik: definition, egenskaper och exempel

Utforska binära operationer i matematik: tydlig definition, viktiga egenskaper och konkreta exempel (addition, multiplikation, matriser, funktioner) för förståelse.

Inom matematiken är en binär operation, ofta betecknad *, på en mängd ett sätt att kombinera ett par element i mängden som resulterar i ett annat element i mängden. Om vi till exempel tar ett par naturliga tal och låter operationen * vara addition, är deras summa också ett naturligt tal och resultatet av att tillämpa denna särskilda binära operation. Ett annat exempel på en operation på de naturliga talen är multiplikation. Ta till exempel de naturliga talen 2 och 3. När de multipliceras med varandra ger de 6, ett annat naturligt tal.

Övriga: Summan mellan matriserna. Sammansättning av funktioner. Mängdernas union och intersektion är också två olika binära operationer på mängden av alla mängder, eller på delmängder i en potensmängd.

Definition och formell beskrivning

Formellt är en binär operation på en mängd S en avbildning

*: S × S → S

Det betyder att för varje ordnat par (a, b) med a, b ∈ S ger operationen * ett välbestämt element a * b som också tillhör S. Kravet att resultatet ligger i S kallas slutenhet eller att operationen är definierad på S.

Egenskaper som ofta studeras

• Slutenhet – för alla a, b ∈ S är a * b ∈ S.
• Associativitet – (a * b) * c = a * (b * c) för alla a, b, c ∈ S. Exempel: addition och multiplikation på tal.
• Kommutativitet – a * b = b * a för alla a, b ∈ S. Exempel: addition är kommutativ, men matris-multiplikation är i allmänhet inte det.
• Identitetselement – ett element e ∈ S sådant att e * a = a * e = a för alla a ∈ S. Exempel: 0 för addition, 1 för multiplikation.
• Invers – givet ett identitetselement e kan ett element a ha ett invers a⁻¹ med a * a⁻¹ = a⁻¹ * a = e. I naturliga tal finns t.ex. inte inverser för addition (utom för 0 i en utökad kontext).
• Distributivitet – en operation kan vara distributiv över en annan, t.ex. multiplikation är distributiv över addition: a(b + c) = ab + ac.

Exempel och motexempel

• Addition och multiplikation på tal – på de reella talen R är både + och · binära operationer som är slutna, associativa och kommutativa; de har identitetselement (0 respektive 1) och de reella talen har inverser för + (negativa tal) men inte alltid för · (noll saknar multiplikativ invers).
• Matriser – summan mellan matriserna av samma storlek är en binär operation som är sluten, associativ och kommutativ. Matris-multiplikation är också en binär operation (när dimensionerna passar) men är i allmänhet inte kommutativ.
• Funktioner – sammansättning av funktioner (f ◦ g) är en binär operation på mängden av funktioner med lämpliga definitionsmängder; den är associativ men inte nödvändigtvis kommutativ.
• Mängdlära – union och intersektion är binära operationer på en potensmängd (mängden av delmängder till en given mängd). De är både associativa och kommutativa samt har identitetselement (∅ för union, hela universum för intersektion).
• Motexempel – subtraktion på de naturliga talen är inte en binär operation i strikt mening om man kräver slutenhet: 2 − 3 ger inte ett naturligt tal (beroende på definitionen av naturliga tal). Division är inte slutet på naturliga tal eller många andra mängder.

Algebraiska strukturer som byggs upp av binära operationer

Genom att studera en mängd tillsammans med en eller flera binära operationer får man olika algebraiska strukturer:

• Magma – en mängd med en binär operation (endast slutenhet krävs).
• Semigroup – magma där operationen är associativ.
• Monoid – semigroup med ett identitetselement.
• Grupp – monoid där alla element har inverser.
• Ring och fält – strukturer med två binära operationer (t.ex. addition och multiplikation) som uppfyller särskilda axiom, exempelvis distributivitet.

Notation och praktiska kommentarer

Binära operationer skrivs ofta med infixnotation a * b, men kan också anges som en funktion *(a,b) eller genom juxtapositionsnotation ab. Om operationen är associativ kan man ofta utelämna parenteser: a * b * c tolkas som (a * b) * c. För att ange att en operation är väl definierad måste man alltid kontrollera att resultatet tillhör samma mängd.

Sammanfattningsvis är en binär operation ett grundläggande begrepp i algebra och mycket användbart för att definiera och studera strukturer som grupper, ringar och fält. Praktiska exempel finns i talteori, linjär algebra, funktionsteori och mängdlära.

Frågor och svar

Fråga: Vad är en binär operation?

F: Hur betecknas en binär operation i matematik?

F: Vad är ett exempel på en binär operation på naturliga tal?

F: Vad är resultatet av att tillämpa en binär operation på ett par naturliga tal?

Fråga: Kan binära operationer tillämpas på andra matematiska objekt än tal?

F: Vilka är några exempel på binära operationer på mängder?

F: I vilken mängd kan två olika binära operationer utföras?

Sök med bokstav