Egenvärden och egenvektorer
Linjär algebra talar om typer av funktioner som kallas transformationer. I det sammanhanget är en egenvektor en vektor - som skiljer sig från nollvektorn - som inte ändrar riktning i transformationen (utom om transformationen vänder vektorn i motsatt riktning). Vektorn kan ändra sin längd eller bli noll ("noll"). Egenvärdet är värdet av vektorns längdförändring. Ordet "egen" är ett tyskt ord och betyder "sin egen".
Illustration av en förvandling (av Mona Lisa): Bilden ändras på ett sådant sätt att den röda pilen (vektorn) inte ändrar riktning, men den blå gör det. Den röda vektorn är därför en egenvektor av denna transformation, den blå är det inte. Eftersom den röda vektorn inte ändrar sin längd är dess egenvärde 1. Den omvandling som används kallas för skjuvningsmappning.
Grunderna
Om det finns en kvadratisk matris som kallas A, en skalär λ och en vektor v som inte är noll, är λ ett egenvärde och v en egenvektor om följande ekvation är uppfylld:
A v = λ v . {\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} \,. } 
Med andra ord, om matris A gånger vektorn v är lika med skalan λ gånger vektorn v, så är λ egenvärdet av v, där v är egenvektorn.
Ett egenområde för A är mängden av alla egenvektorer med samma egenvärde tillsammans med nollvektorn. Nollvektorn är dock inte en egenvektor.
Dessa idéer utvidgas ofta till mer generella situationer, där skalärer är element i vilket fält som helst, vektorer är element i vilket vektorrum som helst och linjära transformationer kan eller inte kan representeras av matrismultiplikation. I stället för reella tal kan skalarer till exempel vara komplexa tal; i stället för pilar kan vektorer vara funktioner eller frekvenser; i stället för matrismultiplikation kan linjära transformationer vara operatorer, till exempel derivatan från kalkylering. Detta är bara några av otaliga exempel där egenvektorer och egenvärden är viktiga.
I sådana fall förlorar begreppet riktning sin vanliga betydelse och får istället en mer abstrakt definition. Men även i detta fall, om den abstrakta riktningen är oförändrad genom en given linjär transformation, används prefixet "egen", som i egenfunktion, egenläge, egenyta, egentillstånd och egenfrekvens.
Egenvärden och egenvektorer har många tillämpningar inom både ren och tillämpad matematik. De används vid faktorisering av matriser, inom kvantmekanik, ansiktsigenkänningssystem och på många andra områden.
Exempel
För matrisen A
A = [ 2 1 1 2 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}. } 
vektorn
x = [ 3 - 3 ] {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}} 
är en egenvektor med egenvärdet 1. Det är sant,
A x = [ 2 1 1 2 ] [ 3 - 3 ] = [ ( 2 ⋅ 3 ) + ( 1 ⋅ ( - 3 ) ) ( 1 ⋅ 3 ) + ( 2 ⋅ ( - 3 ) ) ] = [ 3 - 3 ] = 1 ⋅ [ 3 - 3 ] . {\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}2&1\\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(2\cdot 3)+(1\cdot (-3))\\(1\cdot 3)+(2\cdot (-3))\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}. } 
Å andra sidan är vektorn
x = [ 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}} 
inte är en egenvektor, eftersom
[ 2 1 1 2 ] [ 0 1 ] = [ ( 2 ⋅ 0 ) + ( 1 ⋅ 1 ) ( 1 ⋅ 0 ) + ( 2 ⋅ 1 ) ] = [ 1 2 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\1& 2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(2\cdot 0)+(1\cdot 1)\\(1\cdot 0)+(2\cdot 1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}. } 
och denna vektor är inte en multipel av den ursprungliga vektorn x.
Frågor och svar
F: Vad är linjär algebra?
S: Linjär algebra är en gren av matematiken som handlar om studier av vektorrum och linjär transformation.
F: Vad är en egenvektor?
S: En egenvektor är en vektor som inte ändrar riktning efter att ha genomgått en transformation, förutom i det fall då transformationen vänder den till motsatt riktning.
F: Vad betyder termen "nollvektor"?
S: En nollvektor är en vektor med noll längd eller magnitud.
F: Vad är ett egenvärde?
S: Ett egenvärde är värdet av längdförändringen hos en egenvektor efter att den har genomgått en transformation.
F: Vilken betydelse har egenvärdet i linjär algebra?
S: Egenvärdet spelar en avgörande roll i linjär algebra eftersom det hjälper till att bestämma transformationens egenskaper.
F: Vad är ursprunget till ordet "eigen"?
S: Ordet "eigen" kommer från tyskan och betyder "egen" eller "typisk".
F: Kan en egenvektor bli en nollvektor efter en transformation?
S: Ja, en egenvektor kan bli en nollvektor efter att ha genomgått en transformation.
