Vad är egenvärden och egenvektorer? Förklaring och exempel
Linjär algebra handlar om särskilda typer av funktioner som kallas transformationer. I detta sammanhang är en egenvektor en vektor - som skiljer sig från nollvektorn - som inte ändrar riktning när transformationen appliceras (förutom att riktningen kan vändas). Vektorn kan däremot ändra längd eller bli nollvektorn. Ett egenvärde är den faktor som beskriver hur mycket vektorns längd ändras. Ordet "egen" kommer från tyska och betyder ungefär "sin egen".
Formell beskrivning
För en linjär avbildning representerad av en matris A gäller definitionen Av = λv. Här är v en egenvektor (v ≠ 0) och λ ett tal (reellt eller komplext) som är motsvarande egenvärde. Ekvationen säger att när A verkar på v, blir resultatet en skalär multipel av v — bara längden och eventuellt riktningen (om λ är negativ) ändras, inte själva linjen genom origo som v ligger på.
Hur man beräknar egenvärden och egenvektorer
För en kvadratisk matris A hittar man egenvärdena genom att lösa karakteristiska ekvationen det(A − λI) = 0, där I är identitetsmatrisen. Varje lösning λ kallas ett egenvärde. För varje sådant λ löser man sedan (A − λI)v = 0 för att få motsvarande egenvektorer v (icke‑triviala lösningar).
Exempel
Ta matrisen A = [[2,1],[1,2]]. Den karakteristiska ekvationen blir det(A − λI) = (2 − λ)^2 − 1 = 0, vilket ger λ = 3 och λ = 1. För λ = 3 är en egenvektor v = [1,1] (eftersom A[1,1]^T = 3[1,1]^T). För λ = 1 är en egenvektor v = [1,−1] (A[1,−1]^T = 1[1,−1]^T). Observera att varje egenvektor kan skalas fritt: om v är en egenvektor är också c·v en egenvektor för varje c ≠ 0.
Vanliga egenskaper och specialfall
- Egenvektorn får aldrig vara nollvektorn enligt definitionen, men Av kan bli nollvektorn om egenvärdet är 0. Ett egenvärde 0 betyder att matrisen inte är inverterbar.
- Ett negativt egenvärde vänder riktningen på vektorn (multiplicerar med −1 förändrar riktning).
- Ett komplext egenvärde uppstår för vissa reella matriser (t.ex. rena rotationsmatriser i planet) — då är egenvektorerna i allmänhet komplexa.
- Algebraisk multiplicitet (antal gånger ett egenvärde uppträder i karakteristiska polynomet) skiljer sig från geometrisk multiplicitet (dimensionen på egenrummet). En matris är diagonaliserbar om för varje egenvärde är geometrisk multiplicitet lika med dess algebraiska multiplicitet och summan täcker hela rummet.
Tillämpningar
Egenvärden och egenvektorer används på många områden: i differentialekvationer för att lösa linjära system, i fysik för att hitta normala lägen och energinivåer, i statistik (PCA) för att hitta huvudriktningar i data, i datavetenskap, grafik och maskininlärning med mera.
Praktiska tips
- Om du arbetar numeriskt: använd stabila algoritmer (t.ex. QR‑metod) eller bibliotek (NumPy, MATLAB) för att hitta egenvärden/vektorer för stora matriser.
- Normalisera egenvektorer om du behöver enhetsvektorer (brukar vara praktiskt för jämförelser och vidare beräkningar).
- Kontrollera Av − λv ≈ 0 (med numerisk tolerans) för att verifiera resultat.
Illustration av en förvandling (av Mona Lisa): Bilden ändras på ett sådant sätt att den röda pilen (vektorn) inte ändrar riktning, men den blå gör det. Den röda vektorn är därför en egenvektor av denna transformation, den blå är det inte. Eftersom den röda vektorn inte ändrar sin längd är dess egenvärde 1. Den omvandling som används kallas för skjuvningsmappning.
Grunderna
Om det finns en kvadratisk matris som kallas A, en skalär λ och en vektor v som inte är noll, är λ ett egenvärde och v en egenvektor om följande ekvation är uppfylld:
A v = λ v . {\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} \,. } 
Med andra ord, om matris A gånger vektorn v är lika med skalan λ gånger vektorn v, så är λ egenvärdet av v, där v är egenvektorn.
Ett egenområde för A är mängden av alla egenvektorer med samma egenvärde tillsammans med nollvektorn. Nollvektorn är dock inte en egenvektor.
Dessa idéer utvidgas ofta till mer generella situationer, där skalärer är element i vilket fält som helst, vektorer är element i vilket vektorrum som helst och linjära transformationer kan eller inte kan representeras av matrismultiplikation. I stället för reella tal kan skalarer till exempel vara komplexa tal; i stället för pilar kan vektorer vara funktioner eller frekvenser; i stället för matrismultiplikation kan linjära transformationer vara operatorer, till exempel derivatan från kalkylering. Detta är bara några av otaliga exempel där egenvektorer och egenvärden är viktiga.
I sådana fall förlorar begreppet riktning sin vanliga betydelse och får istället en mer abstrakt definition. Men även i detta fall, om den abstrakta riktningen är oförändrad genom en given linjär transformation, används prefixet "egen", som i egenfunktion, egenläge, egenyta, egentillstånd och egenfrekvens.
Egenvärden och egenvektorer har många tillämpningar inom både ren och tillämpad matematik. De används vid faktorisering av matriser, inom kvantmekanik, ansiktsigenkänningssystem och på många andra områden.
Exempel
För matrisen A
A = [ 2 1 1 2 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}. } 
vektorn
x = [ 3 - 3 ] {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}} 
är en egenvektor med egenvärdet 1. Det är sant,
A x = [ 2 1 1 2 ] [ 3 - 3 ] = [ ( 2 ⋅ 3 ) + ( 1 ⋅ ( - 3 ) ) ( 1 ⋅ 3 ) + ( 2 ⋅ ( - 3 ) ) ] = [ 3 - 3 ] = 1 ⋅ [ 3 - 3 ] . {\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}2&1\\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(2\cdot 3)+(1\cdot (-3))\\(1\cdot 3)+(2\cdot (-3))\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}. } 
Å andra sidan är vektorn
x = [ 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}} 
inte är en egenvektor, eftersom
[ 2 1 1 2 ] [ 0 1 ] = [ ( 2 ⋅ 0 ) + ( 1 ⋅ 1 ) ( 1 ⋅ 0 ) + ( 2 ⋅ 1 ) ] = [ 1 2 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\1& 2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(2\cdot 0)+(1\cdot 1)\\(1\cdot 0)+(2\cdot 1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}. } 
och denna vektor är inte en multipel av den ursprungliga vektorn x.
Frågor och svar
F: Vad är linjär algebra?
S: Linjär algebra är en gren av matematiken som handlar om studier av vektorrum och linjär transformation.
F: Vad är en egenvektor?
S: En egenvektor är en vektor som inte ändrar riktning efter att ha genomgått en transformation, förutom i det fall då transformationen vänder den till motsatt riktning.
F: Vad betyder termen "nollvektor"?
S: En nollvektor är en vektor med noll längd eller magnitud.
F: Vad är ett egenvärde?
S: Ett egenvärde är värdet av längdförändringen hos en egenvektor efter att den har genomgått en transformation.
F: Vilken betydelse har egenvärdet i linjär algebra?
S: Egenvärdet spelar en avgörande roll i linjär algebra eftersom det hjälper till att bestämma transformationens egenskaper.
F: Vad är ursprunget till ordet "eigen"?
S: Ordet "eigen" kommer från tyskan och betyder "egen" eller "typisk".
F: Kan en egenvektor bli en nollvektor efter en transformation?
S: Ja, en egenvektor kan bli en nollvektor efter att ha genomgått en transformation.
