Metriska rum är ett grundläggande begrepp inom matematiken. Ett metrisk rum består av en mängd X tillsammans med en funktion d som tar emot två element från X och returnerar ett verkligt tal d(x,y), ofta kallat avståndet mellan x och y. Funktionen d måste uppfylla vissa axiom för att kallas ett avstånd (eller metric).

Definition — axiomen för ett metriskt rum

En funktion d : X × X → R är en metric på mängden X om följande egenskaper gäller för alla x, y, z ∈ X:

  • Icke-negativitet: d(x,y) ≥ 0.
  • Identitet för oavgränsning (separation): d(x,y) = 0 ⇔ x = y. (Om man släpper andra riktningen får man en pseudo-metric.)
  • Symmetri: d(x,y) = d(y,x).
  • Triangulär olikhet: d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z).

Enkla exempel

  • Vanliga reella linjen: på X = R definieras d(x,y) = |x − y|. Detta är det mest grundläggande exemplet.
  • Euclidiskt avstånd i R^n: d(x,y) = sqrt(∑_{i=1}^n (x_i − y_i)^2), vilket generaliserar absolutbeloppet.
  • Manhattanmått (L1): d(x,y) = ∑_{i=1}^n |x_i − y_i|.
  • Supremummått (L∞): d(x,y) = max_{1≤i≤n} |x_i − y_i|.
  • Diskret metric: på vilken mängd som helst X: d(x,y) = 0 om x = y, annars d(x,y) = 1. Den ger den diskreta topologin.
  • Grafavstånd: i en oriktad graf definieras d(u,v) som längden (antal kanter) i en kortaste väg mellan u och v.
  • Funktionrum: för kontinuerliga funktioner f,g på ett intervall kan man t.ex. sätta d(f,g) = sup_{x} |f(x) − g(x)| eller d_p(f,g) = (∫ |f−g|^p)^{1/p}.

Topologiska begrepp kopplade till metric

En metric ger en naturlig topologi via öppna bollar:

  • En öppnare boll med centrum x och radie r > 0 är B(x,r) = {y ∈ X : d(x,y) < r}.
  • Konvergens: en följd x_n → x om d(x_n, x) → 0 när n → ∞.
  • Cauchyföljder: en följd (x_n) är Cauchy om för varje ε > 0 finns N så att för alla m,n ≥ N gäller d(x_m,x_n) < ε.
  • Kompletthet: ett metrisk rum är komplett om varje Cauchyföljd konvergerar i rummet (R med |·| är komplett, Q är inte komplett).
  • Komakthet: i metriska rum är kompakthet ekvivalent med varje följd har en konvergent del följd (sekventiell kompakthet).

Ytterligare begrepp och varianter

  • Isometri: en avbildning mellan metriska rum som bevarar avstånd (d'(f(x),f(y)) = d(x,y)). Isometrier bevarar alla metriska egenskaper.
  • Pseudo-metric: liknar metric men kan ha d(x,y) = 0 för x ≠ y. Ger upphov till kvotrum där sådana punkter identifieras.
  • Ultrametric: en starkare form av triangulär olikhet: d(x,z) ≤ max(d(x,y), d(y,z)). Ultrametriska rum uppvisar ofta trädliknande strukturer och har speciella topologiska egenskaper.
  • Inducerad metric från norm: om V är ett vektorrum med norm ||·|| gäller d(x,y) = ||x − y||, vilket ger ett metriskt rum.
  • Produktmetric: på produkten av två metriska rum kan man t.ex. använda d((x1,y1),(x2,y2)) = d1(x1,x2) + d2(y1,y2) eller max(d1,d2) för att definiera en metric.

Användningsområden

Metriska rum används i många delar av matematiken: analys, topologi, differentialgeometri, sannolikhetsteori och datavetenskap (t.ex. likhetsmått, klustring och sökning i rumsdata). De ger ett enkelt sätt att prata om närhet, kontinuitet, gränsvärden och konvergens i en mängd som kanske inte har någon naturlig linjär struktur.

Sammanfattning

Kortfattat är ett metrisk rum en mängd utrustad med en funktion d som mäter avstånd och uppfyller icke-negativitet, identitet, symmetri och triangulär olikhet. Från dessa enkla axiom följer en rik struktur med öppna bollar, konvergensbegrepp, kompakt- och kompletthet samt många användbara varianter och exempel.