Distributivitet

Fördelning är ett begrepp från algebra: Det anger hur binära operationer ska hanteras. Det enklaste fallet är addition och multiplikation av tal. Till exempel i aritmetik:

2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), men 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3).

I den första ekvationen multiplicerar 2 summan av 1 och 3 på vänster sida, medan 2 multiplicerar 1 och 3 individuellt på höger sida, med produkterna adderade efteråt. Eftersom dessa ger samma slutresultat (8), sägs det att multiplikation med 2 fördelar sig över additionen av 1 och 3. Eftersom man kunde ha satt vilka verkliga tal som helst i stället för 2, 1 och 3 ovan och ändå ha fått en sann ekvation, säger vi att multiplikation av verkliga tal fördelar sig över addition av verkliga tal.

Definition

Givet en mängd $S$ och två binära operatorer ∗ och + på $S$ , säger vi att operationen:

∗ är vänsterdistributiv över + om, givet alla element $x, y$ och $z$ i $S,$

x ∗ ( y + z ) = ( x ∗ y ) + ( x ∗ z ) , {\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z),} $x*(y+z)=(x*y)+(x*z),$

∗ är högerdistributiv över + om, givet alla element $x, y$ och $z$ i $S,$

( y + z ) ∗ x = ( y ∗ x ) + ( z ∗ x ) , {\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x),} $(y+z)*x=(y*x)+(z*x),$ och

∗ är distributiv över + om den är vänster- och högerdistributiv. Observera att när ∗ är kommutativ är de tre villkoren ovan logiskt likvärdiga.

Tillämpningar

Den distributiva egenskapen kan också tillämpas på:

Verkliga tal
Komplexa tal
Matriser (särskilda regler gäller)
Vektorer (särskilda regler gäller)
Ställer in
Logik med påståenden

Frågor och svar

F: Vad är distribution i algebra?

S: Distribution är ett begrepp i algebra som beskriver hur binära operationer som addition och multiplikation hanteras.

F: Kan du ge ett exempel på fördelning i aritmetik?

S: Ja, ett exempel på fördelning i aritmetik är 2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), där 2 på vänster sida multiplicerar summan av 1 och 3, medan 2 på höger sida multiplicerar 1 och 3 var för sig, med produkterna adderade efteråt.

F: Varför är begreppet fördelning viktigt i algebra?

S: Begreppet fördelning är viktigt i algebra eftersom det hjälper till att förenkla ekvationer och göra dem lättare att lösa.

F: Är multiplikation fördelad över addition av alla reella tal?

S: Ja, multiplikation av reella tal fördelar sig över addition av reella tal, vilket innebär att man skulle kunna sätta vilka reella tal som helst i stället för värdena i den ekvation som används för exemplet med fördelning i aritmetik och ändå få en sann ekvation.

F: Är addition distributiv över multiplikation i alla fall?

S: Nej, addition är inte distributiv över multiplikation i alla fall; detta gäller endast för vissa uppsättningar av tal, t.ex. reella tal.

Fråga: Kan du ge ett exempel där distributionen inte stämmer?

S: Ja, ett motexempel där fördelningen inte är sann är 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3). I det här fallet är ekvationen på vänster sida inte lika med ekvationen på höger sida eftersom division inte fördelar sig över addition.

F: Hur tillämpas distribution på binära operationer?

S: Fördelning i algebra gäller särskilt binära operationer som addition och multiplikation, där den beskriver hur operationerna ska utföras när det finns mer än en operand inblandad.