Distributivitet är ett begrepp från algebra. Det beskriver hur en binär operation ska "fördela sig" över en annan. Det enklaste och mest välkända fallet gäller addition och multiplikation av tal. Ett vanligt aritmetiskt exempel är:

2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), men 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3).

I det första uttrycket multiplicerar 2 summan av 1 och 3 (vänster sida). På höger sida multipliceras 2 med 1 och 3 var för sig och produkterna adderas. Eftersom båda sidorna blir lika (8) säger man att multiplikation med 2 fördelar sig över additionen av 1 och 3. Eftersom samma resonemang gäller för vilka verkliga tal som helst istället för 2, 1 och 3 säger man att multiplikation av verkliga tal fördelar sig över addition av verkliga tal.

Formell definition

Låt (S, ⊕) och (S, ⊗) vara två binära operationer på samma mängd S. Vi säger att ⊗ är vänsterdistributiv över ⊕ om

a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c) för alla a, b, c ∈ S.

På motsvarande sätt är ⊗ högerdistributiv över ⊕ om

(b ⊕ c) ⊗ a = (b ⊗ a) ⊕ (c ⊗ a) för alla a, b, c ∈ S.

Om båda villkoren gäller säger man att ⊗ är distributiv över ⊕.

Vanliga exempel

  • Tal (fält och ringar): I ett fält eller en ring (t.ex. reella tal) är multiplikation distributiv över addition: a(b + c) = ab + ac och (b + c)a = ba + ca.
  • Subtraktion: Multiplikation fördelar sig också över subtraktion eftersom a(b − c) = ab − ac.
  • Matrisalgebra: Matris­multiplikation är distributiv över matrisaddition: A(B + C) = AB + AC och (B + C)A = BA + CA, för matriser med kompatibla dimensioner.
  • Boolesk algebra: I boolesk algebra distribuerar AND över OR och OR över AND (till skillnad från vanliga tal där addition inte distribuerar över multiplikation): exempelvis x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z).

Kontraexempel och begränsningar

  • Division är generellt inte distributiv över addition, vilket visas av exemplet ovan med 2/(1+3).
  • Exponentiering är inte distributiv över addition: a^(b + c) ≠ a^b + a^c i allmänhet.
  • I icke-kommutativa strukturer kan vänster- och högerdistributivitet skilja sig åt; vissa operationer kan vara endast en-sidigt distributiva.

Användningar

  • Utveckling och faktorisering: Distributivitet används för att "sprida ut" parenteser (expandera) eller för att samla gemensamma faktorer: ab + ac = a(b + c).
  • Förenkling av uttryck: Ger regler för att omvandla och förenkla algebraiska uttryck och lösa ekvationer.
  • Bevis och strukturteori: Distributiva lagar är en av de grundläggande axiom som definierar strukturer som ringar, ringer, semiringar och booleska algebraer.

Kort bevisidé för tal

På heltalen kan man tolka multiplikation a(b + c) som att man adderar talet a, b + c gånger. Genom att dela upp de b + c upprepningarna i b upprepningar och c upprepningar får man a·b + a·c. I mer formella sammanhang (fältaxiomen) ingår distributivitet som ett axiom för de reella talen, så där gäller lagen per definition.

Sammanfattning

Distributivitet är en grundläggande egenskap i algebra som beskriver hur en operation fördelar sig över en annan. Den gör det möjligt att expandera och faktorisera uttryck, och är viktig i många matematiska områden — från grundläggande aritmetik till mer avancerade strukturer som matriser och boolesk algebra. Samtidigt är det viktigt att notera att inte alla operationer är distributiva över andra (t.ex. division över addition).