Distributivitet i matematik: definition, exempel och egenskaper

Distributivitet i matematik – tydlig definition, konkreta exempel och viktiga egenskaper för att förstå när operationer fördelar sig över varandra.

Författare: Leandro Alegsa

11-12-2025 22:47

Distributivitet är ett begrepp från algebra. Det beskriver hur en binär operation ska "fördela sig" över en annan. Det enklaste och mest välkända fallet gäller addition och multiplikation av tal. Ett vanligt aritmetiskt exempel är:

2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), men 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3).

I det första uttrycket multiplicerar 2 summan av 1 och 3 (vänster sida). På höger sida multipliceras 2 med 1 och 3 var för sig och produkterna adderas. Eftersom båda sidorna blir lika (8) säger man att multiplikation med 2 fördelar sig över additionen av 1 och 3. Eftersom samma resonemang gäller för vilka verkliga tal som helst istället för 2, 1 och 3 säger man att multiplikation av verkliga tal fördelar sig över addition av verkliga tal.

Formell definition

Låt (S, ⊕) och (S, ⊗) vara två binära operationer på samma mängd S. Vi säger att ⊗ är vänsterdistributiv över ⊕ om

a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c) för alla a, b, c ∈ S.

På motsvarande sätt är ⊗ högerdistributiv över ⊕ om

(b ⊕ c) ⊗ a = (b ⊗ a) ⊕ (c ⊗ a) för alla a, b, c ∈ S.

Om båda villkoren gäller säger man att ⊗ är distributiv över ⊕.

Vanliga exempel

Tal (fält och ringar): I ett fält eller en ring (t.ex. reella tal) är multiplikation distributiv över addition: a(b + c) = ab + ac och (b + c)a = ba + ca.
Subtraktion: Multiplikation fördelar sig också över subtraktion eftersom a(b − c) = ab − ac.
Matrisalgebra: Matrismultiplikation är distributiv över matrisaddition: A(B + C) = AB + AC och (B + C)A = BA + CA, för matriser med kompatibla dimensioner.
Boolesk algebra: I boolesk algebra distribuerar AND över OR och OR över AND (till skillnad från vanliga tal där addition inte distribuerar över multiplikation): exempelvis x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z).

Kontraexempel och begränsningar

Division är generellt inte distributiv över addition, vilket visas av exemplet ovan med 2/(1+3).
Exponentiering är inte distributiv över addition: a^(b + c) ≠ a^b + a^c i allmänhet.
I icke-kommutativa strukturer kan vänster- och högerdistributivitet skilja sig åt; vissa operationer kan vara endast en-sidigt distributiva.

Användningar

Utveckling och faktorisering: Distributivitet används för att "sprida ut" parenteser (expandera) eller för att samla gemensamma faktorer: ab + ac = a(b + c).
Förenkling av uttryck: Ger regler för att omvandla och förenkla algebraiska uttryck och lösa ekvationer.
Bevis och strukturteori: Distributiva lagar är en av de grundläggande axiom som definierar strukturer som ringar, ringer, semiringar och booleska algebraer.

Kort bevisidé för tal

På heltalen kan man tolka multiplikation a(b + c) som att man adderar talet a, b + c gånger. Genom att dela upp de b + c upprepningarna i b upprepningar och c upprepningar får man a·b + a·c. I mer formella sammanhang (fältaxiomen) ingår distributivitet som ett axiom för de reella talen, så där gäller lagen per definition.

Sammanfattning

Distributivitet är en grundläggande egenskap i algebra som beskriver hur en operation fördelar sig över en annan. Den gör det möjligt att expandera och faktorisera uttryck, och är viktig i många matematiska områden — från grundläggande aritmetik till mer avancerade strukturer som matriser och boolesk algebra. Samtidigt är det viktigt att notera att inte alla operationer är distributiva över andra (t.ex. division över addition).

Definition

Givet en mängd $S$ och två binära operatorer ∗ och + på $S$ , säger vi att operationen:

∗ är vänsterdistributiv över + om, givet alla element $x, y$ och $z$ i $S,$

x ∗ ( y + z ) = ( x ∗ y ) + ( x ∗ z ) , {\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z),} $x*(y+z)=(x*y)+(x*z),$

∗ är högerdistributiv över + om, givet alla element $x, y$ och $z$ i $S,$

( y + z ) ∗ x = ( y ∗ x ) + ( z ∗ x ) , {\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x),} $(y+z)*x=(y*x)+(z*x),$ och

∗ är distributiv över + om den är vänster- och högerdistributiv. Observera att när ∗ är kommutativ är de tre villkoren ovan logiskt likvärdiga.

Tillämpningar

Den distributiva egenskapen kan också tillämpas på:

Verkliga tal
Komplexa tal
Matriser (särskilda regler gäller)
Vektorer (särskilda regler gäller)
Ställer in
Logik med påståenden

Frågor och svar

F: Vad är distribution i algebra?

S: Distribution är ett begrepp i algebra som beskriver hur binära operationer som addition och multiplikation hanteras.

F: Kan du ge ett exempel på fördelning i aritmetik?

S: Ja, ett exempel på fördelning i aritmetik är 2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), där 2 på vänster sida multiplicerar summan av 1 och 3, medan 2 på höger sida multiplicerar 1 och 3 var för sig, med produkterna adderade efteråt.

F: Varför är begreppet fördelning viktigt i algebra?

S: Begreppet fördelning är viktigt i algebra eftersom det hjälper till att förenkla ekvationer och göra dem lättare att lösa.

F: Är multiplikation fördelad över addition av alla reella tal?

S: Ja, multiplikation av reella tal fördelar sig över addition av reella tal, vilket innebär att man skulle kunna sätta vilka reella tal som helst i stället för värdena i den ekvation som används för exemplet med fördelning i aritmetik och ändå få en sann ekvation.

F: Är addition distributiv över multiplikation i alla fall?

S: Nej, addition är inte distributiv över multiplikation i alla fall; detta gäller endast för vissa uppsättningar av tal, t.ex. reella tal.

Fråga: Kan du ge ett exempel där distributionen inte stämmer?

S: Ja, ett motexempel där fördelningen inte är sann är 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3). I det här fallet är ekvationen på vänster sida inte lika med ekvationen på höger sida eftersom division inte fördelar sig över addition.

F: Hur tillämpas distribution på binära operationer?

S: Fördelning i algebra gäller särskilt binära operationer som addition och multiplikation, där den beskriver hur operationerna ska utföras när det finns mer än en operand inblandad.

Sök