Proportioner – definition, exempel och beräkningar i matematik

Inom matematiken betyder ordet "proportioner" att två proportioner eller två förhållanden ställs lika i en ekvation. En proportion skrivs vanligen som

a/b = c/d,

vilket betyder att kvoten mellan a och b är lika med kvoten mellan c och d. Ett viktigt samband är att korsmultiplikation gäller: a · d = b · c. Med denna regel kan man enkelt lösa ut en okänd i en proportion.

Vanliga exempel

50/100 = 1/2
75/100 = 3/4
x/100 = 3/4, där x = 75 (genom att använda korsmultiplikation: x·4 = 3·100 → x = 300/4 = 75)

Hur man löser proportioner — metoder

De vanligaste metoderna är:

Korsmultiplikation: Om a/b = c/d så gäller a·d = b·c. Används för att lösa ut en okänd, till exempel x i x/100 = 3/4 → x = 3·100/4 = 75.
Enhetsmetoden (unitary method): Bestäm värdet för en enhet och multiplicera upp. Exempel: Om 3 av 4 delar motsvarar 100 enheter, så 1 del = 100/3 och 3 delar = 3·(100/3) = 100.
Förenkling av bråk: Förenkla båda sidor i proportionen innan du löser, om möjligt, för att minska risken för räknefel.

Exempel: prisändring vid bensin

I algebra kan proportioner användas för att lösa problem om förändring av tal. Ett praktiskt exempel:

Anta att du köper bensin för $40 när priset per gallon stiger från $3,50 till $3,85. För att räkna ut hur mycket du får för $40 vid det nya priset kan vi sätta upp proportionen (antal dollar vs pris per gallon):

x / 3.85 = 40 / 3.50

Använd korsmultiplikation: x · 3.50 = 40 · 3.85 → x = 40 · 3.85 / 3.50 = 44.

Svaret är att du får motsvarande $44 i värde jämfört med tidigare $40, alltså $4 mer värde om priset per enhet ökar med $0,35 (samma totalköp väger annorlunda beroende på enhetspris).

Direkt och omvänd proportion

Det är viktigt att skilja på två typer av proportioner:

Direkt proportion: När en kvantitet ökar, ökar den andra i samma takt. Om y är proportionell mot x: y = kx.
Omvänd proportion: När en kvantitet ökar, minskar den andra. Om y är omvänt proportionell mot x: y = k / x.

Att avgöra om ett problem handlar om direkt eller omvänd proportion påverkar hur ekvationen ställs upp.

Proportioner och procent

En andel eller proportion kan också uttryckas som en procentandel. Exempel: 3/4 = 0,75 = 75%. För att omvandla ett bråk till procent multiplicerar du med 100.

Proportioner i statistik

Inom statistiken används andelar för att beskriva hur utbredd en egenskap är i ett urval eller i en population. I statisk notation används ofta bokstaven

$p$

för en urvalsandel och

$\pi$

för en populationsandel. Dessa andelar kan användas i proportioner och i beräkningar av konfidensintervall, hypotesprövningar och andra statistiska metoder.

Praktiska tips och vanliga fel

Se till att enheterna på båda sidor av proportionen är samma (t.ex. dollar per liter, personer per grupp osv.).
Förenkla bråken innan du korsmultiplicerar för att minska risken för räknefel.
Kontrollera alltid svaret genom att sätta tillbaka värdet i proportionen för att säkerställa att båda sidor blir lika.
Bland inte ihop direkt och omvänd proportion — välj rätt modell beroende på problemets natur.

Många vardagsproblem och matematiska uppgifter kan effektivt lösas genom att uttrycka relationer som proportioner och använda korsmultiplikation eller enhetsmetoden för att lösa dem.

Proportionalitetskonstant

En proportionalitetskonstant är ett tal som används för att omvandla en mätning i ett system till motsvarande mätning i ett annat system. Personer som är bekanta med det traditionella systemet med enheter som används i USA (pounds, feet, inches osv.) kan till exempel behöva ta reda på den metriska motsvarigheten till dessa mått i gram och meter. För att göra dessa beräkningar behöver de några proportionalitetskonstanter.

Ett sätt att skriva en formel som visar hur man använder en proportionalitetskonstant K är:

KX = Y

Till exempel kan man veta att man har 100 ägg och vill veta hur många dussin ägg man har. Proportionalitetskonstanten K är då 1 dussin/ 12 ägg.

100 ägg × (1 dussin / 12 ägg) = 8 dussin ägg + 4 ägg

I allmänhet gäller att om det för två funktioner f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) och g ( x ) {\displaystyle g(x)} $g(x)$ finns en konstant K {\displaystyle K} $K$ som gör att f ( x ) = K g ( x ) {\displaystyle f(x)=Kg(x)} $f(x)=Kg(x)$ , säger vi att " f {\displaystyle f} är direkt proportionell till g {\displaystyle g} ". I symboler kan detta skrivas som f ( x ) ∝ $f(x)\propto g(x)$ .

Exempel på proportionalitetskonstanter

· Planckkonstanten anger energin hos en foton med en given frekvens i en vanlig energienhet, joule.

Relaterade sidor

Proportionalitet

Frågor och svar

F: Vad betyder ordet "proportioner" inom matematiken?

S: Inom matematiken betyder ordet "proportioner" två förhållanden som sätts in i en ekvation.

F: Hur kan proportioner användas för att lösa vanliga problem?

S: Proportioner kan användas för att lösa många vanliga problem som handlar om att förändra tal. Om till exempel priset på ett köp ökar kan proportioner användas för att beräkna hur mycket mer pengar som behövs för köpet.

F: Vad är en proportion inom statistiken?

S: Inom statistiken är en andel ett tal som mäter i vilken utsträckning en viss egenskap finns i ett urval eller en population och kan betraktas som en procentandel.

F: Hur representeras urvalsproportionerna?

S: Proportioner i urvalet representeras med bokstaven p.

F: Hur representeras populationsandelar?

S: Befolkningsandelar representeras med hjälp av den grekiska bokstaven ً (pi).

F: Vad är ett exempel på hur proportioner kan användas för att lösa ett problem?

S: Som exempel kan nämnas att om priset på bensin (bensin) för 40 dollar ökar om priset stiger med 35 cent från 3,50 dollar till 3,85 dollar, så skulle proportionen vara +x⁄3,85 = +40⁄3,50 dollar och lösningen skulle helt enkelt vara x = 40 dollar/3,50 x 3,85 = 44 dollar eller 4 dollar mer när priset är 0,35 dollar högre .

F: Finns det andra beräkningar som kan lösas med proportioner?

S: Ja, många andra vanliga beräkningar kan lösas med hjälp av proportioner för att visa förhållandet mellan tal.