Plancks konstant (h)

Mellan 1670 och 1900 diskuterade vetenskapsmännen ljusets natur. Vissa forskare trodde att ljuset bestod av många miljoner små partiklar. Andra forskare trodde att ljuset var en våg.

Ljus: vågor eller partiklar?

År 1678 skrev Christiaan Huygens boken Traité de la lumiere ("Traktat om ljuset"). Han trodde att ljuset bestod av vågor. Han menade att ljuset inte kunde bestå av partiklar eftersom ljus från två strålar inte studsar mot varandra. År 1672 skrev Isaac Newton boken Opticks. Han trodde att ljuset bestod av röda, gula och blå partiklar som han kallade korpuslar. Newton förklarade detta med sitt "experiment med två prismer". Det första prismat delade upp ljuset i olika färger. Det andra prismat slog ihop färgerna till vitt ljus.

Under 1700-talet fick Newtons teori mest uppmärksamhet. År 1803 beskrev Thomas Young "dubbelspaltsexperimentet". I detta experiment störs ljuset som går genom två smala spalter av sig självt. Detta orsakar ett mönster som visar att ljuset består av vågor. Under resten av 1800-talet fick vågteorin om ljuset mest uppmärksamhet. På 1860-talet utvecklade James Clerk Maxwell ekvationer som beskrev elektromagnetisk strålning som vågor.

Teorin om elektromagnetisk strålning behandlar ljus, radiovågor, mikrovågor och många andra typer av vågor som samma sak förutom att de har olika våglängder. Våglängden för det ljus som vi kan se med våra ögon ligger ungefär mellan 400 och 600 nm. Radiovågornas våglängd varierar mellan 10 m och 1500 m och mikrovågornas våglängd är ungefär 2 cm. I ett vakuum färdas alla elektromagnetiska vågor med ljusets hastighet. Den elektromagnetiska vågens frekvens ges av:

ν = c λ {\displaystyle \nu ={\frac {c}{\lambda }}} .

Symbolerna definieras här.

Radiatorer med svart kropp

Alla varma saker avger värmestrålning, som är elektromagnetisk strålning. För de flesta saker på jorden ligger denna strålning i det infraröda området, men något som är mycket varmt (1000 °C eller mer) avger synlig strålning, dvs. ljus. I slutet av 1800-talet studerade många forskare våglängderna för elektromagnetisk strålning från svartkroppsstrålare vid olika temperaturer.

Rayleigh-Jeans Law

Lord Rayleigh publicerade först grunderna för Rayleigh-Jeans-lagen år 1900. Teorin byggde på den kinetiska teorin om gaser. Sir James Jeans publicerade en mer fullständig teori 1905. Lagen relaterar mängden och våglängden av den elektromagnetiska energi som avges av en svartkroppsstrålare vid olika temperaturer. Ekvationen som beskriver detta är:

B λ ( T ) = 2 c k T λ 4 {\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {2ckT}{\lambda ^{4}}}} .

För strålning med lång våglängd motsvarade de resultat som förutspåddes med denna ekvation väl de praktiska resultat som erhölls i ett laboratorium. För korta våglängder (ultraviolett ljus) var dock skillnaden mellan teori och praktik så stor att den fick smeknamnet "den ultravioletta katastrofen".

Plancks lag

1895 publicerade Wien resultaten av sina studier av strålningen från en svart kropp. Hans formel var:

B λ ( T ) = 2 h c 2 λ 5 e - h c λ k T {\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}}e^{-{\frac {hc}{\lambda kT}}}} .

Denna formel fungerade bra för kortvågig elektromagnetisk strålning, men inte för långvågig.

År 1900 publicerade Max Planck resultaten av sina studier. Han försökte utveckla ett uttryck för strålning från svarta kroppar uttryckt i termer av våglängd genom att anta att strålningen bestod av små kvanter och sedan se vad som hände om kvanterna gjordes oändligt små (detta är ett standardmatematiskt tillvägagångssätt). Uttrycket var:

B λ ( T ) = 2 h c 2 λ 5 1 e h c λ k T - 1 {\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {2hc^{2}}}{\lambda ^{5}}}~{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1}}}} .

Om ljusets våglängd tillåts bli mycket stor kan man visa att Raleigh-Jeans- och Planckförhållandena är nästan identiska.

Han beräknade h och k och fann att

h = 6,55×10⁻²⁷ erg-sec.

k = 1,34×10⁻¹⁶ erg-deg^-1 .

Värdena ligger nära de idag accepterade värdena 6,62606×10⁻³⁴ och 1,38065×10⁻¹⁶ . Plancklagen stämmer väl överens med de experimentella uppgifterna, men dess fulla betydelse uppskattades först flera år senare.

Kvantteori om ljus

Det visar sig att elektroner lossnar genom den fotoelektriska effekten om ljuset når en tröskelfrekvens. Under detta värde kan inga elektroner avges från metallen. År 1905 publicerade Albert Einstein en artikel som förklarar effekten. Einstein föreslog att en ljusstråle inte är en våg som fortplantar sig i rymden, utan snarare en samling diskreta vågpaket (fotoner), vart och ett med energi. Einstein menade att effekten berodde på att en foton träffar en elektron. Detta visade ljusets partikelkaraktär.

Einstein fann också att elektromagnetisk strålning med lång våglängd inte hade någon effekt. Einstein menade att detta berodde på att "partiklarna" inte hade tillräckligt med energi för att störa elektronerna.

Planck föreslog att energin hos varje foton var relaterad till fotonfrekvensen genom Planckkonstanten. Detta kan skrivas matematiskt på följande sätt:

E = h ν = h c λ {\displaystyle E=h\nu ={\frac {hc}{\lambda }}} .

Planck fick Nobelpriset 1918 för de tjänster han gjort för fysikens framsteg genom sin upptäckt av energikvanter. År 1921 fick Einstein Nobelpriset för att han kopplade Planckkonstanten till den fotoelektriska effekten.

Planckkonstanten är viktig i många tillämpningar. Några av dem listas nedan.

Bohrs atommodell av atomen

År 1913 publicerade Niels Bohr Bohrs modell av atomens struktur. Bohr menade att elektronernas vridmoment runt kärnan endast kan ha vissa värden. Dessa värden ges av ekvationen

L = n h 2 π {\displaystyle L=n{\frac {h}{2\pi }}}

där

L = vinkelmoment förknippat med en nivå.

n = positivt heltal.

h = Planckkonstanten.

Bohrs atommodell kan användas för att beräkna elektronernas energi på varje nivå. Elektroner fyller normalt de lägst numrerade nivåerna i en atom. Om atomen får energi från t.ex. en elektrisk ström kommer elektronerna att exciteras till ett högre tillstånd. Elektronerna faller sedan tillbaka till ett lägre tillstånd och förlorar sin extra energi genom att avge en foton. Eftersom energinivåerna har specifika värden kommer fotonerna att ha specifika energinivåer. Ljus som avges på detta sätt kan delas upp i olika färger med hjälp av ett prisma. Varje grundämne har sitt eget mönster. Mönstret för neon visas här bredvid.

Heisenbergs osäkerhetsprincip

År 1927 publicerade Werner Heisenberg osäkerhetsprincipen. Principen säger att det inte är möjligt att göra en mätning utan att störa det som mäts. Den sätter också en gräns för den minsta störning som orsakas av en mätning.

I den makroskopiska världen gör dessa störningar mycket liten skillnad. Om man till exempel mäter temperaturen i en kolv med vätska kommer termometern att absorbera en liten mängd energi när den värms upp. Detta kommer att orsaka ett litet fel i den slutliga avläsningen, men detta fel är litet och inte viktigt.

Inom kvantmekaniken är det annorlunda. Vissa mätningar görs genom att titta på mönstret av spridda fotoner. Ett sådant exempel är Comptonspridning. Om man mäter både en partikels position och rörelsemängd, säger osäkerhetsprincipen att det finns en kompromiss mellan den noggrannhet med vilken rörelsemängden mäts och den noggrannhet med vilken positionen mäts. Den ekvation som beskriver denna kompromiss är:

Δ x Δ p ⩾ h 4 π {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geqslant {\frac {h}{4\pi }}\qquad \qquad \qquad \qquad }

där

Δp = osäkerhet i rörelsen.

Δx = osäkerhet i positionen.

h = Planckkonstanten.

Färg på lysdioder

I den elektriska kretsen till höger beror spänningsfallet över lysdioden (LED) på LED-materialet. För kiseldioder är spänningsfallet 0,6 V. För lysdioder är det däremot mellan 1,8 V och 2,7 V. Med hjälp av denna information kan användaren beräkna Planckkonstanten.

Den energi som krävs för att en elektron ska hoppa över den potentiella barriären i LED-materialet ges av följande formel

E = Q e V L {\displaystyle E=Q_{e}V_{L}\,}

där

Q_e är laddningen på en elektron.

V_L är spänningsfallet över lysdioden.

När elektronen sönderfaller igen avger den en ljusfoton. Fotonens energi ges av samma ekvation som används för den fotoelektriska effekten. Om dessa ekvationer kombineras, hänger ljusets våglängd och spänningen samman genom

λ = h c V L Q e {\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{V_{L}Q_{e}}}}\,}

Utifrån detta förhållande kan man beräkna nedanstående tabell.

Sedan den upptäcktes har mätningarna av h blivit mycket bättre. Planck angav först värdet på h till 6,55×10⁻²⁷ erg-sec. Detta värde ligger inom 5 % av det nuvarande värdet.

Den bästa mätningen av h i SI-enheter är sedan den 3 mars 2014 6,62606957×10⁻³⁴ J-s. Motsvarande siffra i cgs-enheter är 6,6260696957×10⁻²⁷ erg-sec. Den relativa osäkerheten för h är 4,4×10 . ⁻⁸

Den reducerade Planckkonstanten (ħ) är ett värde som ibland används inom kvantmekaniken. Den definieras genom

ℏ = h 2 π {\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}} .

Planck-enheter används ibland inom kvantmekaniken i stället för SI. I detta system har den reducerade Planckkonstanten värdet 1, så värdet av Planckkonstanten är 2π.

Plancks konstant kan nu mätas med mycket hög precision. Detta har fått BIPM att överväga en ny definition av kilogrammet. Den internationella prototypen kilogram används inte längre för att definiera kilogrammet. I stället definierar BIPM Planckkonstanten som ett exakt värde. Forskare använder detta värde och definitionerna av metern och sekunden för att definiera kilogrammet.

Värdet av den teoretiska planckkonstanten

Planckkonstanten kan också härledas matematiskt:

h = μ 0 π 12 c 3 [ q 0 [ 0,9163 a 0 ] 2 ] 2 f 1 r 5 ⋅ s = 6.63 × 10 - 34 J ⋅ s {\displaystyle h={\frac {\mu _{0}\pi }{12c^{3}}}{[{q_{0}}}{[0.9163a_{0}]}^{2}]^{2}}{f_{1r}}^{5}\cdot {s}=6.63\times 10^{-34}J\cdot s}

Här är μ 0 {\displaystyle \mu _{0}}} det fria rummets permeabilitet, c {\displaystyle c} ljusets hastighet, q 0 {\displaystyle q_{0}} elektronens elektriska laddning, a 0 {\displaystyle a_{0}} är Bohrs radie, och f 1 r {\displaystyle f_{1r}} är elektronens rotationsfrekvens i en väteatom ( f 1 r = 3.29 × 10 15 r e v / s ) {\displaystyle (f_{1r}=3.29\times 10^{15}rev/s)} . När dessa konstantvärden sätts in i den teoretiska Planckkonstanten är det teoretiska värdet av Planckkonstanten exakt lika med det experimentella värdet.

 Den elementära formeln för Plancks konstant i termer av förhållandet mellan protonernas och elektronernas massa, elektronernas laddning, ljusets hastighet och vakuumets permittivitet härleds i. Den uttrycks på följande sätt:

h = e 2 c ε 0 π 2 3 m p m e {\displaystyle h={\frac {e^{2}}}{c\,\varepsilon _{0}}}}{\sqrt {\pi \,{\sqrt {\frac {\frac {2}{3}}}}\,\,{\frac {m_{p}}{m_{e}}}}}}

där e {\displaystyle e} är elektronens elementarladdning, m p {\displaystyle m_{p}} är protonens massa, m e {\displaystyle m_{e}} är elektronens massa, ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} är vakuumets permittivitet och c {\displaystyle c} är ljusets hastighet.

• Våg-partikel-dualitet