Inom komplex analys är Eulers formel, ibland även kallad Eulers relation, en ekvation som involverar komplexa tal och trigonometriska funktioner. Mer specifikt säger den att

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}

där x är ett reellt tal, e är Eulers tal och i är den imaginära enheten. Formeln skapar ett enkelt och elegant samband mellan trigonometriska funktioner och exponentialfunktioner för komplexa tal. Den är uppkallad efter Leonhard Euler, som publicerade den 1748. När han först presenterade uttrycket antog han att vinkeln var ett reellt tal, men senare förlängs formeln naturligt till komplexa vinklar genom analytisk fortsättning.

Tillämpningar och direkta konsekvenser

Ett par omedelbara och välkända specialfall är när vinkeln är lika med {\displaystyle \pi } eller {\displaystyle 2\pi }:

När {\displaystyle \pi } får man den berömda identiteten

{\displaystyle e^{i\pi }=-1}

Denna kan också skrivas som den kända sambands-formeln e^{iπ} + 1 = 0, som kopplar samman fem fundamentala matematiska konstanter. För vinkeln {\displaystyle 2\pi } gäller

{\displaystyle e^{i2\pi }=1}

Geometrisk tolkning

Eulers formel ger en enkel geometrisk tolkning: för ett reellt x ligger talet e^{ix} på den komplexa enhetscirkeln med vinkel x räknat från den positiva realaxeln. Med andra ord motsvarar multiplikation med e^{iθ} en rotation i planet med vinkeln θ.

Bevisalternativ (översikt)

Det finns flera sätt att motivera eller bevisa Eulers formel. Två av de vanligaste är:

  • Taylorserier: Exponentialfunktionen och trigonometriska funktioner definieras ofta av sina potensserier:
    • e^{z} = Σ_{n=0}^{∞} z^{n}/n!
    • cos x = Σ_{n=0}^{∞} (-1)^{n} x^{2n}/(2n)!
    • sin x = Σ_{n=0}^{∞} (-1)^{n} x^{2n+1}/(2n+1)!
    Sätt z = ix i serien för e^{z} och gruppera termerna med jämna respektive udda potenser — de motsvarar precis serierna för cos x respektive i·sin x, vilket ger e^{ix} = cos x + i sin x.
  • Differentialekvation och unikhet: Funktionen f(x)=e^{ix} uppfyller f'(x)=i f(x) och f(0)=1. Även funktionen g(x)=cos x + i sin x uppfyller samma differentialekvation och begynnelsevärde, och därför måste de vara identiska.

Generaliserad form och polära koordinater

För en allmän komplex variabel z = x + i y gäller

e^{z} = e^{x+iy} = e^{x}(\cos y + i \sin y).

Detta visar att komplex exponentialfunktion separerar till en reell skalningsfaktor e^{x} och en rotationsfaktor e^{iy}. Tack vare detta kan varje icke-noll komplext tal skrivas i polära koordinater som

r e^{iθ}, där r = |z| > 0 och θ = arg(z) (argumentet) — dock är θ endast bestämt upp till ett tillägg av 2π, eftersom e^{i(θ+2πk)} = e^{iθ} för heltal k.

Viktiga följder och användningsområden

  • de Moivres formel: (cos x + i sin x)^{n} = cos(nx) + i sin(nx) för heltal n — lätt att bevisa med Eulers formel.
  • Fourieranalys och signalbehandling: Harmoniska svängningar uttrycks enkelt med komplexa exponentiella termer, vilket förenklar beräkningar och analys.
  • Elektriska kretsar och fysik: Fasorer i växelströmsteknik representeras av komplexa exponentiella former för att beskriva amplitude och fas.
  • Lösning av differentialekvationer: Exponentiella lösningar med komplexa argument beskriver svängningar och dempning.

Allmänna kommentarer

Även om Euler i sin ursprungliga formulering betraktade reella vinklar, följer formeln från de allmänna definitionerna av e^{z}, cos z och sin z som analytiska funktioner, och den gäller därför för komplexa värden av argumentet (med de vanliga flerfaldighetsanmärkningarna för argumentet och logaritmen). Eulers formel är därför inte bara en identitet utan en grundsten i sambandet mellan algebra, analys, geometri och tillämpad matematik.