Matematisk analys | Den tittar på funktioner, sekvenser och serier

Delar av matematisk analys

Begränsningar

Ett grundläggande begrepp i matematisk analys är begreppet gräns. Gränser används för att se vad som händer mycket nära saker. Gränser kan också användas för att se vad som händer när saker och ting blir mycket stora. Till exempel är 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}} aldrig noll, men när n blir större kommer 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}} allt närmare noll. Gränsen för 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}} när n blir större är noll. Detta beskrivs med "Gränsen för 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}} när n blir oändlig är noll", och skrivs som lim n → ∞ 1 n = 0 {\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}}=0} .

Motsatsen skulle vara 2 × n {\displaystyle {2}\times {n}}} . När n {\displaystyle {n}} blir större går gränsen mot oändligheten. Den skrivs som lim n → ∞ 2 × n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{2}\times {n}=\infty } .

Algebraens fundamentala sats kan bevisas med hjälp av några grundläggande resultat inom komplex analys. Den säger att varje polynom f ( x ) {\displaystyle f(x)} med reella eller komplexa koefficienter har en komplex rot (där en rot är ett tal x som uppfyller ekvationen f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0}). och vissa av dessa rötter kan vara samma).

Differentialräkning

Funktionen f ( x ) = m x + c {\displaystyle f(x)={m}{x}+{c}} är en linje. M {\displaystyle {m}} visar funktionens lutning och c {\displaystyle {c}} visar funktionens position på ordinatan. Med två punkter på linjen är det möjligt att beräkna lutningen m {\displaystyle {m}} med:

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}} .

En funktion av formen f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} , som inte är linjär, kan inte beräknas som ovan. Det är endast möjligt att beräkna lutningen med hjälp av tangenter och sekanter. Sekanten går genom två punkter och när de två punkterna närmar sig varandra blir den en tangent.

Den nya formeln är m = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}} .

Detta kallas för skillnadskvot. x 1 {\displaystyle x_{1}} kommer nu närmare x 0 {\displaystyle x_{0}} . Detta kan uttryckas med följande formel:

f ′ ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 {\displaystyle f'(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}} .

Resultatet kallas för derivat eller lutning av f i punkten x {\displaystyle {x}} .

Integration

Integrationen handlar om beräkning av areor.

Symbolen ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}

står för "integralen av f med avseende på x från a till b" och avser arean mellan x-axeln, grafen för funktionen f och linjerna x=a och x=b. a {\displaystyle a} är den punkt där området ska börja och b {\displaystyle b} den punkt där området ska sluta.

Relaterade sidor

Ämnen inom analys

• Kalkyl
• Komplex analys
• Funktionsanalys
• Numerisk analys

Begrepp i analysen

• Serie
• Sekvens
• Derivat
• Integral