Schrödingerekvationen

Schrödingerekvationen är en differentialekvation (en typ av ekvation som involverar en okänd funktion snarare än ett okänt tal) som utgör grunden för kvantmekaniken, en av de mest exakta teorierna om hur subatomära partiklar beter sig. Det är en matematisk ekvation som Erwin Schrödinger kom på 1925. Den definierar en vågfunktion för en partikel eller ett system (grupp av partiklar) som har ett visst värde i varje punkt i rummet för varje given tid. Dessa värden har ingen fysisk betydelse (de är faktiskt matematiskt komplexa), men vågfunktionen innehåller all information som kan vara känd om en partikel eller ett system. Denna information kan hittas genom att matematiskt manipulera vågfunktionen för att få fram verkliga värden som rör fysiska egenskaper som position, impuls, energi osv. Vågfunktionen kan ses som en bild av hur denna partikel eller detta system agerar med tiden och beskriver det så fullständigt som möjligt.

Vågfunktionen kan vara i flera olika tillstånd samtidigt, och en partikel kan därför ha många olika positioner, energier, hastigheter eller andra fysiska egenskaper samtidigt (dvs. "vara på två ställen samtidigt"). När en av dessa egenskaper mäts har den dock bara ett specifikt värde (som inte kan förutsägas definitivt), och vågfunktionen befinner sig därför bara i ett specifikt tillstånd. Detta kallas vågfunktionskollaps och verkar orsakas av observationen eller mätningen. Den exakta orsaken till och tolkningen av vågfunktionskollapsen är fortfarande mycket omdiskuterad inom forskarvärlden.

För en partikel som bara rör sig i en riktning i rummet ser Schrödingerekvationen ut på följande sätt:

- ℏ 2 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)$

där i {\displaystyle i} $i$ är kvadratroten av -1, ℏ {\displaystyle \hbar } $\hbar$ är den reducerade Planckkonstanten, t {\displaystyle t} $t$ är tid, x {\displaystyle x} är en position, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,\,t)} $\Psi (x,\,t)$ är vågfunktionen, och V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ är den potentiella energin, en ännu inte vald funktion av positionen. Den vänstra sidan är likvärdig med Hamiltons energioperatör som verkar på Ψ {\displaystyle \Psi } $\Psi$ .

Byst av Erwin Schrödinger vid Wiens universitet. Den visar också en Schrödingerekvation.

Tidsoberoende version

Om vi antar att vågfunktionen Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} $\Psi (x,t)$ , är separerbar, dvs. att en funktion av två variabler kan skrivas som en produkt av två olika funktioner av en enda variabel:

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)} $\Psi (x,t)=\psi (x)T(t)$

Med hjälp av vanliga matematiska tekniker för partiella differentialekvationer kan man visa att vågekvationen kan skrivas om till två olika differentialekvationer

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)} $i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)$

- ℏ 2 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)$

där den första ekvationen endast är beroende av tiden T ( t ) {\displaystyle T(t)} $T(t)$ , och den andra ekvationen beror endast på positionen ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} $\psi (x)$ , och där E {\displaystyle E} $E$ bara är ett tal. Den första ekvationen kan lösas omedelbart för att ge

T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}} $T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

där e {\displaystyle e} $e$ är Eulers tal. Lösningarna till den andra ekvationen beror på den potentiella energifunktionen V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ och kan därför inte lösas förrän denna funktion är given. Det kan visas med hjälp av kvantmekanik att talet E {\displaystyle E} $E$ faktiskt är systemets energi, så dessa separerbara vågfunktioner beskriver system med konstant energi. Eftersom energin är konstant i många viktiga fysiska system (t.ex. en elektron i en atom) används ofta den andra ekvationen i den uppsättning separerade differentialekvationer som presenterats ovan. Denna ekvation är känd som den tidsoberoende Schrödingerekvationen, eftersom den inte involverar t {\displaystyle t} $t$

Tolkningar av vågfunktionen

Född Tolkning

Det finns många filosofiska tolkningar av vågfunktionen, och några av de viktigaste idéerna kommer att behandlas här. Huvudidén, som kallas Borns sannolikhetstolkning (uppkallad efter fysikern Max Born), kommer från den enkla idén att vågfunktionen är kvadratiskt integrerbar, dvs.

∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty$

Denna ganska enkla formel har stora fysiska konsekvenser. Born antog att ovanstående integral bestämmer att partikeln existerar någonstans i rymden. Men hur kan vi hitta den? Vi använder integralen

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle \int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)} $\int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)$

där P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)} är sannolikheten $P(b<x<a)$ att hitta partikeln i området från b {\displaystyle b} till a {\displaystyle $b$ a} . Med andra ord är allt som i förväg kan kännas till om en partikel i allmänhet sannolikheter, medelvärden och andra statistiska storheter som är förknippade med dess fysiska storheter (position, rörelsemängd osv.). Detta är i princip Born-tolkningen.

Köpenhamnstolkningen

Det går att utvidga ovanstående idéer. Eftersom Born-tolkningen säger att den faktiska positionen partikeln inte kan vara känd, kan vi härleda följande. Om Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}} $\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}$ är lösningar till vågekvationen, så är superpositionen av dessa lösningar, dvs.

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}}} $\Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}$

är också en lösning. Detta innebär alltså att partikeln existerar i alla möjliga positioner. När en observatör kommer och mäter partikelns position reduceras superpositionen till en enda möjlig vågfunktion. (dvs. Ψ s {\displaystyle \Psi _{s}} $\Psi _{s}$ → Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ där Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}}} $\Psi _{n}$ är något av de möjliga vågfunktionstillstånden). Denna idé om att en partikels position inte kan vara exakt känd och att en partikel existerar i flera positioner samtidigt ger upphov till osäkerhetsprincipen. Den matematiska formuleringen av denna princip kan ges genom följande

Δ x Δ p > ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}} $\Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}$

Där Δ x {\displaystyle \Delta x} $\Delta x$ är osäkerheten i positionen och Δ p {\displaystyle \Delta p} $\Delta p$ är osäkerheten i rörelsen. Denna princip kan matematiskt härledas från Fouriertransformerna mellan rörelsemängd och position enligt kvantmekanikens definition, men vi kommer inte att härleda den i den här artikeln.

Andra tolkningar

Det finns flera andra tolkningar, t.ex. tolkningen av många världar och kvantdeterminism.

Frågor och svar

F: Vad är Schrödingerekvationen?

S: Schrödingerekvationen är en differentialekvation som utgör grunden för kvantmekaniken och som Erwin Schrödinger kom på 1925. Den definierar en vågfunktion för en partikel eller ett system som har ett visst värde i varje punkt i rummet för varje given tid.

F: Vilken information kan man få fram genom att manipulera vågfunktionen?

S: Genom att matematiskt manipulera vågfunktionen kan man hitta verkliga värden som rör fysiska egenskaper som position, impuls, energi osv.

F: Vad betyder det när en partikel kan ha många olika positioner, energier, hastigheter eller andra fysiska egenskaper samtidigt?

S: Det betyder att vågfunktionen kan vara i ett antal olika tillstånd samtidigt och att en partikel därför kan ha många olika positioner, energier, hastigheter eller andra fysiska egenskaper samtidigt (dvs. "vara på två ställen samtidigt").

F: Vad är vågfunktionskollaps?

S: Vågfunktionskollaps är när en av dessa egenskaper mäts har den endast ett specifikt värde (som inte kan förutsägas definitivt), och vågfunktionen befinner sig därför i endast ett specifikt tillstånd. Detta verkar orsakas av observationen eller mätningen.

F: Vilka är några komponenter i Schrödingerekvationen?

S: Komponenterna i Schrödingerekvationen omfattar i som är lika med kvadratroten -1, ℏ som representerar den reducerade Planckkonstanten, t som står för tid, x som representerar position, Ψ (x , t) som står för vågfunktioner och V(x) som representerar potentiell energi som en ännu inte vald funktion av positionen.

F: Hur tolkar vi vågfunktionens kollaps?

S: Den exakta orsaken till och tolkningen av vågfunktionskollapsen är fortfarande föremål för en omfattande debatt i forskarsamhället.