Schrödingerekvationen

Om vi antar att vågfunktionen Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} , är separerbar, dvs. att en funktion av två variabler kan skrivas som en produkt av två olika funktioner av en enda variabel:

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)}

Med hjälp av vanliga matematiska tekniker för partiella differentialekvationer kan man visa att vågekvationen kan skrivas om till två olika differentialekvationer

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)}

- ℏ 2 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)}

där den första ekvationen endast är beroende av tiden T ( t ) {\displaystyle T(t)} , och den andra ekvationen beror endast på positionen ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} , och där E {\displaystyle E} bara är ett tal. Den första ekvationen kan lösas omedelbart för att ge

T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}}

där e {\displaystyle e} är Eulers tal. Lösningarna till den andra ekvationen beror på den potentiella energifunktionen V ( x ) {\displaystyle V(x)} och kan därför inte lösas förrän denna funktion är given. Det kan visas med hjälp av kvantmekanik att talet E {\displaystyle E} faktiskt är systemets energi, så dessa separerbara vågfunktioner beskriver system med konstant energi. Eftersom energin är konstant i många viktiga fysiska system (t.ex. en elektron i en atom) används ofta den andra ekvationen i den uppsättning separerade differentialekvationer som presenterats ovan. Denna ekvation är känd som den tidsoberoende Schrödingerekvationen, eftersom den inte involverar t {\displaystyle t}  

Född Tolkning

Det finns många filosofiska tolkningar av vågfunktionen, och några av de viktigaste idéerna kommer att behandlas här. Huvudidén, som kallas Borns sannolikhetstolkning (uppkallad efter fysikern Max Born), kommer från den enkla idén att vågfunktionen är kvadratiskt integrerbar, dvs.

∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty }

Denna ganska enkla formel har stora fysiska konsekvenser. Born antog att ovanstående integral bestämmer att partikeln existerar någonstans i rymden. Men hur kan vi hitta den? Vi använder integralen

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle \int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)}

där P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)} är sannolikheten att hitta partikeln i området från b {\displaystyle b} till a {\displaystyle a} . Med andra ord är allt som i förväg kan kännas till om en partikel i allmänhet sannolikheter, medelvärden och andra statistiska storheter som är förknippade med dess fysiska storheter (position, rörelsemängd osv.). Detta är i princip Born-tolkningen.

Köpenhamnstolkningen

Det går att utvidga ovanstående idéer. Eftersom Born-tolkningen säger att den faktiska positionen partikeln inte kan vara känd, kan vi härleda följande. Om Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}} är lösningar till vågekvationen, så är superpositionen av dessa lösningar, dvs.

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}}}

är också en lösning. Detta innebär alltså att partikeln existerar i alla möjliga positioner. När en observatör kommer och mäter partikelns position reduceras superpositionen till en enda möjlig vågfunktion. (dvs. Ψ s {\displaystyle \Psi _{s}} → Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} där Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}}} är något av de möjliga vågfunktionstillstånden). Denna idé om att en partikels position inte kan vara exakt känd och att en partikel existerar i flera positioner samtidigt ger upphov till osäkerhetsprincipen. Den matematiska formuleringen av denna princip kan ges genom följande

Δ x Δ p > ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}}

Där Δ x {\displaystyle \Delta x} är osäkerheten i positionen och Δ p {\displaystyle \Delta p} är osäkerheten i rörelsen. Denna princip kan matematiskt härledas från Fouriertransformerna mellan rörelsemängd och position enligt kvantmekanikens definition, men vi kommer inte att härleda den i den här artikeln.

Andra tolkningar

Det finns flera andra tolkningar, t.ex. tolkningen av många världar och kvantdeterminism.